No gerador apresentado na questão (1) as dimensões da espira são 20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm} e a indução magnética é 0,2 \mathrm{~T}. Para \mathrm{t}=0, o plano da espira está perpendicular às linhas de campo. Qual deve ser a velocidade angular com que a espira deve girar para gerar uma f.e.m cujo valor de valor máximo é 1 V ?

Passo 1

O enunciado dá uma espira quadrada com dimensões 20\\ \mathrm{cm}\times20\\ \mathrm{cm} imersa em um campo magnético uniforme de intensidade 0,2\\ \mathrm{T}. Para t=0 o plano da espira está perpendicular às linhas de campo. A questão pede: qual deve ser a velocidade angular da espira para que a força eletromotriz (f.e.m.) de valor máximo seja 1\\ \mathrm{V}.
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Lado da espira: }20\\ \mathrm{cm} = 0,20\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Campo magnético: }B=0,2\\ \mathrm{T},\\\ &\text{f.e.m. máxima desejada: }\mathcal{E}_{\max}=1\\ \mathrm{V},\\\ &\text{Número de voltas: assumimos }N=1\\ \text{(uma espira)}. \end{aligned}éáú

Passo 2

Breve aula-prática: lei de Faraday e fluxo magnético.
  • Fluxo magnético \Phi é a quantidade de campo que “atravessa” a área da espira. Para uma área plana com vetor normal que forma ângulo \theta com o campo B,
\Phi = B\,A\cos\theta,
onde A é a área da espira e \theta é o ângulo entre o vetor B e a normal ao plano da espira. Aqui A em \mathrm{m}^2, B em \mathrm{T} e \Phi em \mathrm{Wb}.
  • A lei de Faraday diz que a f.e.m. induzida numa espira é proporcional à taxa de variação do fluxo:
\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt},
onde N é o número de voltas (aqui N=1). O sinal menos indica a lei de Lenz (direção da f.e.m.), mas para achar o valor máximo só precisamos do módulo da f.e.m.

Passo 3

Modelo do movimento e expressão do fluxo. Se a espira gira com velocidade angular constante \omega, o ângulo entre a normal da espira e o campo varia como \theta(t)=\omega t (tomando \theta(0)=0 conforme enunciado). Então o fluxo é
\Phi(t)=B\,A\cos(\omega t).
Explico: no instante t=0 a normal está alinhada com B (cos 0=1), e ao girar com \omega a dependência temporal é cosseno.

Passo 4

Derivada do fluxo e expressão da f.e.m. Como
\Phi(t)=B A\cos(\omega t),
fazemos a derivada temporal:
\frac{d\Phi}{dt} = -B A \omega \sin(\omega t).
Aplicando Faraday ( N=1):
\mathcal{E}(t) = -1\cdot\frac{d\Phi}{dt} = -(-B A \omega \sin(\omega t)) = B A \omega \sin(\omega t).
Portanto a f.e.m. varia sinusoidalmente e o valor máximo (amplitude) é
\mathcal{E}_{\max} = B A \omega.
Explicando as variáveis: \mathcal{E}_{\max} é a amplitude da f.e.m., B é a indução magnética, A é a área da espira e \omega é a velocidade angular (em \mathrm{rad/s}).

Passo 5

Isolando \omega da relação de amplitude:
\omega = \frac{\mathcal{E}_{\max}}{B A}.
Agora vamos calcular A numericamente usando o dado do enunciado.

Passo 6

Cálculo da área e do produto B A. O lado é 0,20\\ \mathrm{m}, então
A=(0,20\\ \mathrm{m})^2 = 0,04\\ \mathrm{m}^2.
Usando B=0,2\\ \mathrm{T},
B A = 0,2\cdot 0,04 = 0,008\\ \mathrm{T\cdot m}^2 = 0,008\\ \mathrm{Wb}.

Passo 7

Cálculo numérico de \omega. Substituindo em \omega=\dfrac{\mathcal{E}_{\max}}{B A}:
\omega = \frac{1\\ \mathrm{V}}{0,008\\ \mathrm{Wb}} = 125\\ \mathrm{rad/s}.
Interpretação: essa é a velocidade angular necessária para obter amplitude de 1\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Conversões úteis (para ter ideia em rotações por minuto). A frequência em Hz é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{125}{2\pi}\approx 19{,}9\\ \mathrm{Hz},
e em rotações por minuto (rpm)
\text{rpm}=f\cdot 60\approx 19{,}9\cdot 60\approx 1193\\ \mathrm{rpm}.
Obs.: arredondei para uma casa decimal onde pertinente. O importante pedido original era \omega.

Resposta

\omega = 125\\ \mathrm{rad/s}
f \approx 19{,}9\\ \mathrm{Hz} ( \approx 1193\\ \mathrm{rpm})

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