Um teste em laboratório foi realizado com duas bobinas em núcleo de ar. A medição das indutâncias próprias resultou em 150 mH para cada bobina. Ao conectar as duas bobinas em série e colocá-las próximas uma da outra tem-se uma indutância total de 434 mH . A fim de complementar o experimento, a resistência de cada bobina também medida, resultando em 13,4 \Omega para cada. Com base nestas informações, determine os itens a seguir:
a) Desenhe o circuito elétrico representativo das duas bobinas quando estas estão colocadas próximas uma da outra. Represente todos os componentes e informações necessárias para o entendimento do conjunto.
b) Para o caso apresentado, há indutância mútua? Se sim, calcule seu valor.
c) Caso exista indutância mútua, calcule o valor do coeficiente de acoplamento.
d) Para a configuração apresentada, caso uma fonte de tensão alternada com valor eficaz de 13,56 \mathrm{~V} e frequência de 60 Hz seja conectada na primeira bobina, qual o valor da tensão induzida na segunda bobina (módulo e ângulo)?
e) Qual o impacto no valor das indutâncias próprias caso o núcleo em ar seja substituído por um material ferromagnético? Neste caso, existem correntes parasitas ou de Foucault?

Passo 1

O enunciado nos dá um experimento com duas bobinas e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos para não nos perder:
  • O que o enunciado pergunta:
    a) Desenhar (representar) o circuito elétrico das duas bobinas quando colocadas próximas.
    b) Dizer se há indutância mútua e, se houver, calcular seu valor.
    c) Calcular o coeficiente de acoplamento entre as bobinas (se houver indutância mútua).
    d) Se uma fonte AC com valor eficaz 13{,}56\\ \mathrm{V} e frequência 60\\ \mathrm{Hz} for ligada na primeira bobina, calcular a tensão induzida na segunda bobina (módulo e ângulo).
    e) Explicar o impacto na indutância própria se o núcleo de ar for trocado por um material ferromagnético e dizer se, nesse caso, existem correntes parasitas (correntes de Foucault).
  • Dados fornecidos pelo enunciado (anotei exatamente como vieram):
    • Indutância própria da primeira bobina: \;L_1 = 150\\ \mathrm{mH}.
    • Indutância própria da segunda bobina: \;L_2 = 150\\ \mathrm{mH}.
    • Indutância total medida quando as bobinas são ligadas em série e colocadas próximas: \;L_{\text{serie}} = 434\\ \mathrm{mH}.
    • Resistência de cada bobina: \;R_1 = R_2 = 13{,}4\\ \Omega.
    • Fonte para a parte (d): tensão eficaz \;V_{1,\text{rms}} = 13{,}56\\ \mathrm{V} e frequência \;f = 60\\ \mathrm{Hz}.
Não inicio cálculos ainda; a partir do próximo passo começo a resolver, explicando cada fórmula e conceito usado.

Passo 2

Representação do circuito (resposta ao item a). Vou descrever o esquema e os símbolos essenciais para entender o conjunto — isso equivale ao “desenho” em texto técnico:
  • Componentes por bobina:
    • Bobina 1: resistência série \;R_1=13{,}4\\ \Omega e indutância própria \;L_1=150\\ \mathrm{mH}.
    • Bobina 2: resistência série \;R_2=13{,}4\\ \Omega e indutância própria \;L_2=150\\ \mathrm{mH}.
  • Ligação em série (como foi medida a indutância total): as duas bobinas estão conectadas em série elétrica, ou seja, uma após a outra. Devemos também indicar a convenção de pontos (dots) para mostrar polaridade relativa das bobinas — importante para saber se a ligação é soma (aiding) ou subtração (opposing).
  • Esquema textual (linha por linha):
    • Fonte (quando aplicada à bobina 1 para parte d): V_1 ligada ao terminal de entrada da bobina 1.
    • Na bobina 1, em série: primeiro aparece R_1 e em série L_1 (ou podem estar em série na ordem oposta; o importante é que estão em série).
    • O terminal de saída da bobina 1 conecta ao terminal de entrada da bobina 2.
    • Na bobina 2, em série: R_2 e L_2.
    • Terminal final livre: saída do conjunto série.
    • Indicar um ponto (dot) no terminal superior de ambas as bobinas para mostrar que, quando as bobinas estão colocadas “próximas” e ligadas de forma que suas polaridades coincidam (aiding), a indutância total será \;L_{\text{serie}}=L_1+L_2+2M.
Observação prática para desenhar num papel: desenhe duas bobinas com pequenas etiquetas \;L_1=150\\ \mathrm{mH} e \;L_2=150\\ \mathrm{mH}, cada uma com um resistor em série \;R_1=R_2=13{,}4\\ \Omega. Marque os pontos (dots) no mesmo lado das bobinas para indicar que o acoplamento observado produziu soma das indutâncias (veremos isso a seguir).

Passo 3

Existência e cálculo da indutância mútua (item b). Conceito e fórmula:
  • Conceito: Quando duas bobinas estão próximas, o fluxo magnético criado por uma pode atravessar a outra. Isso gera uma tensão induzida na segunda bobina proporcional à variação de corrente na primeira. O parâmetro que quantifica essa interação é a indutância mútua M (unidade Henry).
  • Fórmula para indutância equivalente em série:
    • Se duas bobinas são ligadas em série com acoplamento, a indutância total em série é L_{\text{serie}} = L_1 + L_2 \pm 2M,onde o sinal + corresponde a ligação “aiding” (os fluxos somam) e o sinal - corresponde a ligação “opposing” (os fluxos se opõem). O 2M aparece porque cada bobina contribui com o termo mútuo quando estão em série.
  • Pelo dado experimental temos \;L_{\text{serie}} = 434\\ \mathrm{mH} e L_1=L_2=150\\ \mathrm{mH}. A soma L_1+L_2=300\\ \mathrm{mH}. Como L_{\text{serie}}=434\\ \mathrm{mH} > 300\\ \mathrm{mH}, conclui-se que o sinal usado foi + (aiding). Logo:
    L_{\text{serie}} = L_1 + L_2 + 2M.
  • Isolando M:
    M = \frac{L_{\text{serie}} - L_1 - L_2}{2}.
  • Substituindo números (em henrys):
    L_1 = 150\\ \mathrm{mH} = 0{,}150\\ \mathrm{H},\quad L_2 = 0{,}150\\ \mathrm{H},\quad L_{\text{serie}} = 434\\ \mathrm{mH} = 0{,}434\\ \mathrm{H}.
M = \frac{0{,}434 - 0{,}150 - 0{,}150}{2} = \frac{0{,}134}{2} = 0{,}067\\ \mathrm{H}.
  • Convertendo para miliHenrys: M = 67\\ \mathrm{mH}.
Portanto há indutância mútua e seu valor é \;M = 67\\ \mathrm{mH}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente de acoplamento (item c). Conceito e fórmula:
  • Definição: o coeficiente de acoplamento k mede a fração do fluxo produzido por uma bobina que acopla à outra. Ele varia entre 0 (sem acoplamento) e 1 (acoplamento perfeito). A relação entre M, L_1 e L_2 é:
    k = \frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}.
    Aqui L_1 e L_2 são as indutâncias próprias em henrys.
  • Como L_1 = L_2 = 0{,}150\\ \mathrm{H} e M = 0{,}067\\ \mathrm{H}, temos:
    k = \frac{0{,}067}{\sqrt{0{,}150 \cdot 0{,}150}} = \frac{0{,}067}{0{,}150} = 0{,}446\overline{6}\approx 0{,}447.
Interpretação: k\approx 0{,}447 significa acoplamento moderado (cerca de 44,7% do fluxo acopla da uma bobina para a outra).

Passo 5

Preparação para calcular a tensão induzida na segunda bobina (item d): teoria em forma prática e passo a passo do que vamos fazer.
  • Situação: fonte aplicada à bobina 1: tensão eficaz \;V_{1,\text{rms}}=13{,}56\\ \mathrm{V} em f=60\\ \mathrm{Hz}.
  • Queremos a tensão induzida na bobina 2 (assumirei que a bobina 2 está em circuito aberto, i.e., nenhuma carga ligada a ela; isso é o caso típico quando se pede “tensão induzida na segunda bobina”). Nesse caso, a tensão induzida na bobina 2 é dada no domínio fasorial por: \tilde{V}_2 = j\omega M\,\tilde{I}_1,onde:
    • \omega = 2\pi f é a pulsação (rad/s),
    • M é a indutância mútua (H),
    • \tilde{I}_1 é a corrente fasorial na bobina 1 (A),
    • o fator j (ou 90^\circ) aparece porque a tensão induzida pela variação de corrente está defasada +90^\circ em relação à corrente que a cria (derivada no tempo corresponde a multiplicação por j\omega em fasores).
  • Para obter \tilde{V}_2 precisamos primeiro determinar \tilde{I}_1. Como a bobina 2 está aberta, a corrente \tilde{I}_1 é apenas a corrente que flui pela bobina 1 através de seu próprio impedância série: Z_1 = R_1 + j\omega L_1.
\tilde{I}_1 = \frac{\tilde{V}_1}{Z_1}.
  • Vamos calcular números com cuidado, passo a passo.

Passo 6

Cálculos numéricos para a parte (d):
  • Calcule \omega:
    \omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 60 = 120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}991\\ \mathrm{rad/s}.
  • Calcule \omega L_1:
    \omega L_1 = 376{,}991 \cdot 0{,}150 = 56{,}5487\\ \Omega\\ (\text{reatância indutiva } X_{L1}).â
  • Impedância da bobina 1:
    Z_1 = R_1 + j\omega L_1 = 13{,}4 + j\,56{,}5487\\ \Omega.
  • Módulo de Z_1:
    |Z_1|=\sqrt{13{,}4^2 + 56{,}5487^2} = \sqrt{179{,}56 + 3197{,}63}=\sqrt{3377{,}19}\approx 58{,}12\\ \Omega.
  • Corrente RMS na bobina 1 (tomando \tilde{V}_1 = 13{,}56\angle 0^\circ\\ \mathrm{V} como referência):
    |\tilde{I}_1| = \frac{13{,}56}{58{,}12}\approx 0{,}2333\\ \mathrm{A}.
    ângulo de \tilde{I}_1:
    \angle \tilde{I}_1 = -\arctan\!\left(\frac{\omega L_1}{R_1}\right) = -\arctan\!\left(\frac{56{,}5487}{13{,}4}\right) \approx -76{,}56^\circ.
    Logo
    \tilde{I}_1 \approx 0{,}2333\angle -76{,}56^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Agora calcule \tilde{V}_2 = j\omega M\,\tilde{I}_1. Primeiro calcule \omega M:
    M = 0{,}067\\ \mathrm{H},\quad \omega M = 376{,}991 \cdot 0{,}067 \approx 25{,}2584\\ \Omega.
    O produto \omega M tem unidade ohm (é uma reatância mútua efetiva).
  • Módulo da tensão induzida:
    |\tilde{V}_2| = \omega M \cdot |\tilde{I}_1| = 25{,}2584 \cdot 0{,}2333 \approx 5{,}895\\ \mathrm{V}.
  • Ângulo da tensão induzida:
    • O fator j significa um avanço de +90^\circ sobre \tilde{I}_1. Assim \angle \tilde{V}_2 = \angle \tilde{I}_1 + 90^\circ = -76{,}56^\circ + 90^\circ = 13{,}44^\circ.
  • Resultado final para a tensão induzida (valor eficaz, fasor):
    \tilde{V}_2 \approx 5{,}90\angle 13{,}44^\circ\\ \mathrm{V}\\ (\text{RMS}).
  • Observação sobre sinal/polaridade: esse resultado corresponde ao caso em que as bobinas têm orientação de pontos (dots) tal que a ligação é “aiding” (confirmado pelo fato de L_{\text{serie}}>L_1+L_2). Se a conexão física das bobinas invertesse a polaridade, o ângulo poderia mudar de 180^\circ (sinal invertido), mas o módulo seria o mesmo.

Passo 7

Impacto de trocar o núcleo de ar por um material ferromagnético e correntes parasitas (item e). Explicação didática e prática:
  • Efeito na indutância própria:
    • A indutância de uma bobina tem a forma aproximada L \propto \mu,onde \mu é a permeabilidade magnética do meio que envolve a bobina. O ar tem permeabilidade próxima da do vácuo ( \mu_0), que é baixa.
    • Materiais ferromagnéticos (ferro, aço, núcleos em pó, ferrite) têm permeabilidade relativa \mu_r muito maior que 1. Portanto, substituir o núcleo de ar por um núcleo ferromagnético aumenta significativamente \mu e, consequentemente, aumenta as indutâncias próprias L_1 e L_2. Também aumentam tipicamente a indutância mútua M e, portanto, o coeficiente de acoplamento k tende a aumentar (mais fluxo conjunto).
  • Existência de correntes de Foucault (eddy currents):
    • Se o núcleo ferromagnético for condutor (por exemplo, um bloco de ferro maciço), variações de fluxo magnético geram correntes induzidas dentro do material: são as correntes de Foucault. Essas correntes criam perdas (aquecimento) e tendem a reduzir a eficiência do acoplamento, criando uma componente resistiva equivalente e também reduzindo o aumento efetivo de indutância.
    • Para evitar essas correntes parasitas, projetos práticos usam núcleos laminados (folhas isoladas entre si) ou materiais ferromagnéticos não condutores (ferrites), que quebram os caminhos das correntes parasitas e mantêm alta permeabilidade com baixas perdas.
  • Outros efeitos práticos:
    • Histerese magnética no material ferromagnético causa perdas adicionais (aquecimento) e não-linearidade (indutância pode depender da amplitude do campo).
    • Em resumo: com núcleo ferromagnético L aumenta; M e k geralmente aumentam; se o núcleo for condutor aparecem correntes de Foucault (sim), a menos que se use núcleo laminado ou ferrite para minimizar essas correntes.

Resposta

(a) Duas bobinas em série, cada uma modelada por R_1=13{,}4\\ \Omega em série com L_1=150\\ \mathrm{mH} e R_2=13{,}4\\ \Omega em série com L_2=150\\ \mathrm{mH}. Marque os pontos (dots) no mesmo lado das bobinas para indicar ligação “aiding”. A fonte (quando presente) aplica V_1 à bobina 1.
(b) M=67\\ \mathrm{mH}.
(c) k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}} \approx 0{,}447.
(d) Tensão induzida na bobina 2 (RMS, fasor): \tilde{V}_2 \approx 5{,}90\angle 13{,}44^\circ\\ \mathrm{V}.
(e) Substituir por núcleo ferromagnético aumenta significativamente L_1, L_2 e normalmente M (pois \mu aumenta). Se o núcleo for condutor aparecem correntes parasitas (correntes de Foucault) e perdas; para evitar isso usa-se núcleo laminado ou ferrite.

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