Um teste em laboratório foi realizado com duas bobinas em núcleo de ar. A medição das indutâncias próprias resultou em 150 mH para cada bobina. Ao conectar as duas bobinas em série e colocá-las próximas uma da outra tem-se uma indutância total de 434 mH . A fim de complementar o experimento, a resistência de cada bobina também medida, resultando em
para cada. Com base nestas informações, determine os itens a seguir:
a) Desenhe o circuito elétrico representativo das duas bobinas quando estas estão colocadas próximas uma da outra. Represente todos os componentes e informações necessárias para o entendimento do conjunto.
b) Para o caso apresentado, há indutância mútua? Se sim, calcule seu valor.
c) Caso exista indutância mútua, calcule o valor do coeficiente de acoplamento.
d) Para a configuração apresentada, caso uma fonte de tensão alternada com valor eficaz de
e frequência de 60 Hz seja conectada na primeira bobina, qual o valor da tensão induzida na segunda bobina (módulo e ângulo)?
e) Qual o impacto no valor das indutâncias próprias caso o núcleo em ar seja substituído por um material ferromagnético? Neste caso, existem correntes parasitas ou de Foucault?
a) Desenhe o circuito elétrico representativo das duas bobinas quando estas estão colocadas próximas uma da outra. Represente todos os componentes e informações necessárias para o entendimento do conjunto.
b) Para o caso apresentado, há indutância mútua? Se sim, calcule seu valor.
c) Caso exista indutância mútua, calcule o valor do coeficiente de acoplamento.
d) Para a configuração apresentada, caso uma fonte de tensão alternada com valor eficaz de
e) Qual o impacto no valor das indutâncias próprias caso o núcleo em ar seja substituído por um material ferromagnético? Neste caso, existem correntes parasitas ou de Foucault?
Passo 1
O enunciado nos dá um experimento com duas bobinas e pede várias coisas. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos para não nos perder:
-
O que o enunciado pergunta:
a) Desenhar (representar) o circuito elétrico das duas bobinas quando colocadas próximas.
b) Dizer se há indutância mútua e, se houver, calcular seu valor.
c) Calcular o coeficiente de acoplamento entre as bobinas (se houver indutância mútua).
d) Se uma fonte AC com valor eficaze frequência for ligada na primeira bobina, calcular a tensão induzida na segunda bobina (módulo e ângulo).
e) Explicar o impacto na indutância própria se o núcleo de ar for trocado por um material ferromagnético e dizer se, nesse caso, existem correntes parasitas (correntes de Foucault). -
Dados fornecidos pelo enunciado (anotei exatamente como vieram):
- Indutância própria da primeira bobina:
- Indutância própria da segunda bobina:
- Indutância total medida quando as bobinas são ligadas em série e colocadas próximas:
- Resistência de cada bobina:
- Fonte para a parte (d): tensão eficaz
e frequência
- Indutância própria da primeira bobina:
Não inicio cálculos ainda; a partir do próximo passo começo a resolver, explicando cada fórmula e conceito usado.
Passo 2
Representação do circuito (resposta ao item a). Vou descrever o esquema e os símbolos essenciais para entender o conjunto — isso equivale ao “desenho” em texto técnico:
-
Componentes por bobina:
- Bobina 1: resistência série
e indutância própria . - Bobina 2: resistência série
e indutância própria .
- Bobina 1: resistência série
-
Ligação em série (como foi medida a indutância total): as duas bobinas estão conectadas em série elétrica, ou seja, uma após a outra. Devemos também indicar a convenção de pontos (dots) para mostrar polaridade relativa das bobinas — importante para saber se a ligação é soma (aiding) ou subtração (opposing).
-
Esquema textual (linha por linha):
- Fonte (quando aplicada à bobina 1 para parte d):
ligada ao terminal de entrada da bobina 1. - Na bobina 1, em série: primeiro aparece
e em série (ou podem estar em série na ordem oposta; o importante é que estão em série). - O terminal de saída da bobina 1 conecta ao terminal de entrada da bobina 2.
- Na bobina 2, em série:
e . - Terminal final livre: saída do conjunto série.
- Indicar um ponto (dot) no terminal superior de ambas as bobinas para mostrar que, quando as bobinas estão colocadas “próximas” e ligadas de forma que suas polaridades coincidam (aiding), a indutância total será
- Fonte (quando aplicada à bobina 1 para parte d):
Observação prática para desenhar num papel: desenhe duas bobinas com pequenas etiquetas
e
, cada uma com um resistor em série
. Marque os pontos (dots) no mesmo lado das bobinas para indicar que o acoplamento observado produziu soma das indutâncias (veremos isso a seguir).
Passo 3
Existência e cálculo da indutância mútua (item b). Conceito e fórmula:
-
Conceito: Quando duas bobinas estão próximas, o fluxo magnético criado por uma pode atravessar a outra. Isso gera uma tensão induzida na segunda bobina proporcional à variação de corrente na primeira. O parâmetro que quantifica essa interação é a indutância mútua
(unidade Henry). -
Fórmula para indutância equivalente em série:
- Se duas bobinas são ligadas em série com acoplamento, a indutância total em série é
onde o sinal corresponde a ligação “aiding” (os fluxos somam) e o sinal corresponde a ligação “opposing” (os fluxos se opõem). O aparece porque cada bobina contribui com o termo mútuo quando estão em série.
- Se duas bobinas são ligadas em série com acoplamento, a indutância total em série é
-
Pelo dado experimental temos
e . A soma . Como , conclui-se que o sinal usado foi (aiding). Logo: -
Isolando
: -
Substituindo números (em henrys):
- Convertendo para miliHenrys:
Portanto há indutância mútua e seu valor é
Passo 4
Cálculo do coeficiente de acoplamento (item c). Conceito e fórmula:
-
Definição: o coeficiente de acoplamento
mede a fração do fluxo produzido por uma bobina que acopla à outra. Ele varia entre (sem acoplamento) e (acoplamento perfeito). A relação entre , e é: Aquie são as indutâncias próprias em henrys. -
Como
e , temos:
Interpretação:
significa acoplamento moderado (cerca de 44,7% do fluxo acopla da uma bobina para a outra).
Passo 5
Preparação para calcular a tensão induzida na segunda bobina (item d): teoria em forma prática e passo a passo do que vamos fazer.
- Situação: fonte aplicada à bobina 1: tensão eficaz
em . - Queremos a tensão induzida na bobina 2 (assumirei que a bobina 2 está em circuito aberto, i.e., nenhuma carga ligada a ela; isso é o caso típico quando se pede “tensão induzida na segunda bobina”). Nesse caso, a tensão induzida na bobina 2 é dada no domínio fasorial por:
onde: -
é a pulsação (rad/s), -
é a indutância mútua (H), -
é a corrente fasorial na bobina 1 (A), - o fator
(ou ) aparece porque a tensão induzida pela variação de corrente está defasada em relação à corrente que a cria (derivada no tempo corresponde a multiplicação por em fasores).
-
- Para obter
precisamos primeiro determinar . Como a bobina 2 está aberta, a corrente é apenas a corrente que flui pela bobina 1 através de seu próprio impedância série:
- Vamos calcular números com cuidado, passo a passo.
Passo 6
Cálculos numéricos para a parte (d):
-
Calcule
: -
Calcule
: -
Impedância da bobina 1:
-
Módulo de
: -
Corrente RMS na bobina 1 (tomando
como referência): ângulo de: Logo -
Agora calcule
. Primeiro calcule : O produtotem unidade ohm (é uma reatância mútua efetiva). -
Módulo da tensão induzida:
-
Ângulo da tensão induzida:
- O fator
significa um avanço de sobre . Assim
- O fator
-
Resultado final para a tensão induzida (valor eficaz, fasor):
-
Observação sobre sinal/polaridade: esse resultado corresponde ao caso em que as bobinas têm orientação de pontos (dots) tal que a ligação é “aiding” (confirmado pelo fato de
). Se a conexão física das bobinas invertesse a polaridade, o ângulo poderia mudar de (sinal invertido), mas o módulo seria o mesmo.
Passo 7
Impacto de trocar o núcleo de ar por um material ferromagnético e correntes parasitas (item e). Explicação didática e prática:
- Efeito na indutância própria:
- A indutância de uma bobina tem a forma aproximada
onde é a permeabilidade magnética do meio que envolve a bobina. O ar tem permeabilidade próxima da do vácuo ( ), que é baixa. - Materiais ferromagnéticos (ferro, aço, núcleos em pó, ferrite) têm permeabilidade relativa
muito maior que . Portanto, substituir o núcleo de ar por um núcleo ferromagnético aumenta significativamente e, consequentemente, aumenta as indutâncias próprias e . Também aumentam tipicamente a indutância mútua e, portanto, o coeficiente de acoplamento tende a aumentar (mais fluxo conjunto).
- A indutância de uma bobina tem a forma aproximada
- Existência de correntes de Foucault (eddy currents):
- Se o núcleo ferromagnético for condutor (por exemplo, um bloco de ferro maciço), variações de fluxo magnético geram correntes induzidas dentro do material: são as correntes de Foucault. Essas correntes criam perdas (aquecimento) e tendem a reduzir a eficiência do acoplamento, criando uma componente resistiva equivalente e também reduzindo o aumento efetivo de indutância.
- Para evitar essas correntes parasitas, projetos práticos usam núcleos laminados (folhas isoladas entre si) ou materiais ferromagnéticos não condutores (ferrites), que quebram os caminhos das correntes parasitas e mantêm alta permeabilidade com baixas perdas.
- Outros efeitos práticos:
- Histerese magnética no material ferromagnético causa perdas adicionais (aquecimento) e não-linearidade (indutância pode depender da amplitude do campo).
- Em resumo: com núcleo ferromagnético L aumenta; M e k geralmente aumentam; se o núcleo for condutor aparecem correntes de Foucault (sim), a menos que se use núcleo laminado ou ferrite para minimizar essas correntes.
Resposta
(a) Duas bobinas em série, cada uma modelada por
em série com
e
em série com
. Marque os pontos (dots) no mesmo lado das bobinas para indicar ligação “aiding”. A fonte (quando presente) aplica
à bobina 1.
(b)
(c)
(d) Tensão induzida na bobina 2 (RMS, fasor):
(e) Substituir por núcleo ferromagnético aumenta significativamente ,
e normalmente
(pois
aumenta). Se o núcleo for condutor aparecem correntes parasitas (correntes de Foucault) e perdas; para evitar isso usa-se núcleo laminado ou ferrite.
(b)
(c)
(d) Tensão induzida na bobina 2 (RMS, fasor):
(e) Substituir por núcleo ferromagnético aumenta significativamente