Um gerador em uma das extremidades de uma corda muito longa produz uma onda dada por
y=(6,0 \mathrm{~cm}) \cos (\pi x+4 \pi t)
e um outro gerador na outra extremidade produz a onda
y=(6,0 \mathrm{~cm}) \cos (\pi x-4 \pi t)
Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de cada onda. Para x \geq 0, qual é a posição do nó com (d) o menor, (e) segundo menor e (f) o terceiro menor valor de x ? Para x \geq 0, qual a posição do antinó com (g) o menor, (h) o segundo menor e (i) o terceiro menor valor de x ?

Passo 1

O enunciado dá duas ondas na mesma corda muito longa:
y_1=(6,0\\ \text{cm})\cos(\pi x+4\pi t)
y_2=(6,0\\ \text{cm})\cos(\pi x-4\pi t)
As perguntas são:
(a) a frequência de cada onda;
(b) o comprimento de onda de cada uma;
(c) a velocidade de cada onda;
(d) posição do nó com o menor valor de x\ge 0;
(e) posição do segundo menor nó com x\ge 0;
(f) posição do terceiro menor nó com x\ge 0;
(g) posição do antinó (ventre) com o menor valor de x\ge 0;
(h) posição do segundo menor antinó com x\ge 0;
(i) posição do terceiro menor antinó com x\ge 0.
Informações relevantes dadas (peguei-as diretamente das expressões acima):
  • A amplitude de cada onda é 6,0\\ \text{cm}.
  • O argumento das funções cosseno tem a forma \pi x \pm 4\pi t, então os números \pi e 4\pi aparecem como constantes de espaço e tempo nas expressões.

Passo 2

Vamos recordar as relações fundamentais para uma onda harmônica unidimensional na forma padrão
y(x,t)=A\cos(kx\pm\omega t).
Aqui:
  • A é a amplitude (unidade de comprimento),
  • k é o número de onda (em \text{rad}\,\text{m}^{-1} se x estiver em metros) e está relacionado ao comprimento de onda por
k=\frac{2\pi}{\lambda},
ou seja
\lambda=\frac{2\pi}{k}.
  • \omega é a frequência angular (em \text{rad}\,\text{s}^{-1}) e está ligada à frequência f por
\omega=2\pi f,
ou seja
f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • A velocidade de propagação v da onda é dada por
v=\frac{\omega}{k}=f\lambda.
Essas fórmulas são básicas: k mede quantos radianos a fase muda por unidade de comprimento; \omega mede quantos radianos a fase muda por unidade de tempo.

Passo 3

Identificar k e \omega nas ondas dadas. Comparando com A\cos(kx\pm\omega t) temos para ambas as ondas:
k=\pi,\qquad \omega=4\pi.
Agora calculemos a frequência f:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{4\pi}{2\pi}=2.
Portanto a frequência é 2\\ \text{Hz} (usei f em hertz, que é \text{s}^{-1}).

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda usando \lambda=\dfrac{2\pi}{k}:
\lambda=\frac{2\pi}{\pi}=2.
Logo \lambda=2\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular a velocidade usando v=\dfrac{\omega}{k}:
v=\frac{4\pi}{\pi}=4.
Logo v=4\\ \text{m/s}.
Podemos checar com v=f\lambda: v=2\cdot 2=4\\ \text{m/s}. Consistente.

Passo 6

Agora vamos achar os nós e antinós da superposição das duas ondas. A superposição (soma) é
y(x,t)=y_1+y_2=(6,0\\ \text{cm})\big[\cos(\pi x+4\pi t)+\cos(\pi x-4\pi t)\big].
Usando a identidade trigonométrica
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right),
com \alpha=\pi x+4\pi t e \beta=\pi x-4\pi t, obtemos
y(x,t)=2(6,0\\ \text{cm})\cos(\pi x)\cos(4\pi t).
Portanto a expressão simplificada é
y(x,t)=(12,0\\ \text{cm})\cos(\pi x)\cos(4\pi t).
Isto é uma onda estacionária com amplitude espacial proporcional a \cos(\pi x) e temporamente oscilando com \cos(4\pi t).

Passo 7

Nós (onde a corda permanece sempre em y=0) ocorrem quando a amplitude espacial é zero, isto é quando
\cos(\pi x)=0.
Resolver \cos(\pi x)=0:
\pi x=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2n+1}{2},
onde n é um inteiro. Para x\ge 0 tomamos n=0,1,2,\dots e obtemos:
  • menor nó (n=0): x=\dfrac{1}{2}=0,5\\ \text{m};
  • segundo menor nó (n=1): x=\dfrac{3}{2}=1,5\\ \text{m};
  • terceiro menor nó (n=2): x=\dfrac{5}{2}=2,5\\ \text{m}.

Passo 8

Antinós (ventres), onde a amplitude espacial é máxima em módulo, ocorrem quando |\cos(\pi x)|=1, ou seja quando \cos(\pi x)=\pm 1. Resolver:
\cos(\pi x)=\pm 1\quad\Rightarrow\quad \pi x=m\pi\quad\Rightarrow\quad x=m,
onde m é um inteiro. Para x\ge 0 tomamos m=0,1,2,\dots e obtemos:
  • menor antinó: x=0\\ \text{m} (a corda tem deslocamento máximo aí);
  • segundo menor antinó: x=1\\ \text{m};
  • terceiro menor antinó: x=2\\ \text{m}.

Resposta

(a) f=2\\ \text{Hz}
(b) \lambda=2\\ \text{m}
(c) v=4\\ \text{m/s}
(d) x=\tfrac{1}{2}\\ \text{m}=0,5\\ \text{m}
(e) x=\tfrac{3}{2}\\ \text{m}=1,5\\ \text{m}
(f) x=\tfrac{5}{2}\\ \text{m}=2,5\\ \text{m}
(g) x=0\\ \text{m}
(h) x=1\\ \text{m}
(i) x=2\\ \text{m}

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