Um gerador em uma das extremidades de uma corda muito longa produz uma onda dada por
e um outro gerador na outra extremidade produz a onda
Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de cada onda. Para
, qual é a posição do nó com (d) o menor, (e) segundo menor e (f) o terceiro menor valor de
? Para
, qual a posição do antinó com (g) o menor, (h) o segundo menor e (i) o terceiro menor valor de
?
Passo 1
O enunciado dá duas ondas na mesma corda muito longa:
As perguntas são:
(a) a frequência de cada onda;
(b) o comprimento de onda de cada uma;
(c) a velocidade de cada onda;
(d) posição do nó com o menor valor de ;
(e) posição do segundo menor nó com ;
(f) posição do terceiro menor nó com ;
(g) posição do antinó (ventre) com o menor valor de ;
(h) posição do segundo menor antinó com ;
(i) posição do terceiro menor antinó com .
(a) a frequência de cada onda;
(b) o comprimento de onda de cada uma;
(c) a velocidade de cada onda;
(d) posição do nó com o menor valor de
(e) posição do segundo menor nó com
(f) posição do terceiro menor nó com
(g) posição do antinó (ventre) com o menor valor de
(h) posição do segundo menor antinó com
(i) posição do terceiro menor antinó com
Informações relevantes dadas (peguei-as diretamente das expressões acima):
- A amplitude de cada onda é
. - O argumento das funções cosseno tem a forma
, então os números e aparecem como constantes de espaço e tempo nas expressões.
Passo 2
Vamos recordar as relações fundamentais para uma onda harmônica unidimensional na forma padrão
Aqui:
-
é a amplitude (unidade de comprimento), -
é o número de onda (em se estiver em metros) e está relacionado ao comprimento de onda por
ou seja
-
é a frequência angular (em ) e está ligada à frequência por
ou seja
- A velocidade de propagação
da onda é dada por
Essas fórmulas são básicas:
mede quantos radianos a fase muda por unidade de comprimento;
mede quantos radianos a fase muda por unidade de tempo.
Passo 3
Identificar
e
nas ondas dadas. Comparando com
temos para ambas as ondas:
Agora calculemos a frequência
:
Portanto a frequência é
(usei
em hertz, que é
).
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
usando
:
Logo
.
Passo 5
Calcular a velocidade usando
:
Logo
.
Podemos checar com
:
. Consistente.
Passo 6
Agora vamos achar os nós e antinós da superposição das duas ondas. A superposição (soma) é
Usando a identidade trigonométrica
com
e
, obtemos
Portanto a expressão simplificada é
Isto é uma onda estacionária com amplitude espacial proporcional a
e temporamente oscilando com
.
Passo 7
Nós (onde a corda permanece sempre em
) ocorrem quando a amplitude espacial é zero, isto é quando
Resolver
:
onde
é um inteiro. Para
tomamos
e obtemos:
- menor nó (n=0):
; - segundo menor nó (n=1):
; - terceiro menor nó (n=2):
.
Passo 8
Antinós (ventres), onde a amplitude espacial é máxima em módulo, ocorrem quando
, ou seja quando
. Resolver:
onde
é um inteiro. Para
tomamos
e obtemos:
- menor antinó:
(a corda tem deslocamento máximo aí); - segundo menor antinó:
; - terceiro menor antinó:
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)