Um gerador simétrico ligado em estrela com seqüência direta e \dot{V}_{A B}=22 \underline{\mid 35 \mathrm{~V}} alimenta, através de uma linha equilibrada, duas cargas equilibradas ligadas em paralelo, uma ligada em estrela e outra ligada em triângulo. Pede-se determinar a corrente de linha e a tensão de linha na carga.
Dados:
impedância por fase da carga em estrela: (4+\mathrm{j} 6) \Omega;
impedância por fase da carga em triângulo: (3+\mathrm{j} 4) \Omega;
impedância por fase da linha: (0,2+\mathrm{j} 0,3) \Omega.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
Tensão de linha (entre fases) no gerador: \dot{V}_{AB}=22\angle 35^\circ\\ \text{V}.
Gerador ligado em estrela (neutro disponível, sequência direta).
Linha equilibrada com impedância por fase \;Z_{l}=(0,2+\mathrm{j}\,0,3)\\ \Omega.
Duas cargas equilibradas ligadas em paralelo no secundário (ponto de alimentação):
Carga em estrela: impedância por fase \;Z_Y=(4+\mathrm{j}\,6)\\ \Omega.
Carga em triângulo: impedância por fase \;Z_\Delta=(3+\mathrm{j}\,4)\\ \Omega.
O enunciado pede:
Determinar a corrente de linha (por fase) que percorre a linha até a carga.
Determinar a tensão de linha na carga (ou seja, a tensão entre duas fases no ponto da carga).
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
Relação entre tensão de linha e tensão de fase em sistema estrela com sequência direta: a tensão de fase (por exemplo \dot{V}_{AN}) é \dfrac{1}{\sqrt{3}} da tensão de linha correspondente e deslocada em -30^\circ: \dot{V}_{AN}=\dfrac{\dot{V}_{AB}}{\sqrt{3}}\angle(-30^\circ) (ver explicação depois).
Para carga em triângulo equilibrado, o equivalente estrela por fase é \;Z_{Y,\Delta}=\dfrac{Z_\Delta}{3}.
Impedâncias em paralelo: \;Z_{par}=\dfrac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}.
Circuito por fase: \dot{V}_{fase\_gerador} em série com \;Z_l e com a impedância equivalente por fase da associação paralela das cargas. A corrente de linha por fase é \dot{I}=\dfrac{\dot{V}_{fase\_gerador}}{Z_l+Z_{carga\_por\_fase}}.
Tensão de fase na carga: \dot{V}_{fase\_carga}=\dot{I}\,Z_{carga\_por\_fase}.
Tensão de linha na carga: \dot{V}_{LL,carga}=\sqrt{3}\angle 30^\circ\; \dot{V}_{fase\_carga}.
Passo 2
Transformar a tensão de linha do gerador em tensão de fase (tensão fase-neutro do gerador).
Explicação didática curta: num sistema estrela equilibrado e sequência direta (abc), as tensões de linha e de fase são relacionadas por um fator \sqrt{3} e um deslocamento de 30^\circ. Em particular, para a linha AB e a fase A vale
Converter a carga em triângulo para estrela equivalente e obter a impedância equivalente por fase das duas cargas em paralelo.
Explicação didática: uma carga em triângulo equilibrado com impedância por cada ramo \;Z_\Delta é equivalente, vista entre cada fase e o neutro, a uma impedância estrela \;Z_{Y,\Delta}=\dfrac{Z_\Delta}{3}. Depois disso, como as duas cargas (a estrela original e a estrela equivalente do triângulo) estão ligadas em paralelo entre fase e neutro, a impedância total por fase é o paralelo entre elas:
Observação: deixei a forma em frações exatas \dfrac{568}{709} e \dfrac{774}{709} para você ver que não é aproximação arbitrária; depois usei aproximação para computos numéricos.
Passo 4
Formar a impedância total por fase vista pelo gerador somando a impedância da linha com a impedância equivalente da carga por fase.
Calcular a corrente de linha por fase: \dot{I}=\dfrac{\dot{V}_{AN}}{Z_{total}}.
Explicação didática: em circuito série por fase, a corrente é a tensão de fase do gerador dividida pela impedância série total. A divisão de fasores corresponde a dividir magnitudes e subtrair ângulos:
é a corrente de linha (por fase). Observação prática: em sistema estrela equilibrado a corrente de linha é igual à corrente de fase que percorre cada fase da carga.
Passo 6
Calcular a tensão de fase na carga (fase-neutro no ponto da carga) e, a partir dela, a tensão de linha na carga.
Primeiro a tensão de fase na carga:
\dot{V}_{AN,carga}=\dot{I}\;Z_p.
Expressões em fasor (uso forma polar para multiplicar magnitudes e somar ângulos). Para isso obtenho a magnitude e ângulo de Z_p:
Resumo interpretativo e dica de prova (rápida e prática):
A corrente de linha por fase obtida é a mesma para as três fases (sistema equilibrado). Em prova, calcule só a fase A e replique com deslocamentos de 120^\circ se precisarem das outras fases.
Processo resumido para resolver rapidamente numa prova:
Converter V_{LL} do gerador para V_{fase}.
Converter Z_\Delta para Z_Y dividindo por 3.
Fazer paralelo entre Z_Y e Z_{Y,\Delta} para achar Z_{carga\_fase}.
Somar Z_l e Z_{carga\_fase}; dividir V_{fase} por isso para obter I.
Multiplicar I por Z_{carga\_fase} para obter V_{fase} na carga e usar \sqrt{3}\angle 30^\circ para passar para tensão de linha.
Fique atento aos sinais de ângulo: dividir faz diferença de ângulos, multiplicar soma ângulos.