Um gerador simétrico ligado em estrela com seqüência direta e \dot{V}_{A B}=22 \underline{\mid 35 \mathrm{~V}} alimenta, através de uma linha equilibrada, duas cargas equilibradas ligadas em paralelo, uma ligada em estrela e outra ligada em triângulo. Pede-se determinar a corrente de linha e a tensão de linha na carga.
Dados:
  1. impedância por fase da carga em estrela: (4+\mathrm{j} 6) \Omega;
  2. impedância por fase da carga em triângulo: (3+\mathrm{j} 4) \Omega;
  3. impedância por fase da linha: (0,2+\mathrm{j} 0,3) \Omega.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Tensão de linha (entre fases) no gerador: \dot{V}_{AB}=22\angle 35^\circ\\ \text{V}.
  • Gerador ligado em estrela (neutro disponível, sequência direta).
  • Linha equilibrada com impedância por fase \;Z_{l}=(0,2+\mathrm{j}\,0,3)\\ \Omega.
  • Duas cargas equilibradas ligadas em paralelo no secundário (ponto de alimentação):
    • Carga em estrela: impedância por fase \;Z_Y=(4+\mathrm{j}\,6)\\ \Omega.
    • Carga em triângulo: impedância por fase \;Z_\Delta=(3+\mathrm{j}\,4)\\ \Omega.
O enunciado pede:
  • Determinar a corrente de linha (por fase) que percorre a linha até a carga.
  • Determinar a tensão de linha na carga (ou seja, a tensão entre duas fases no ponto da carga).
Informações relevantes que vou usar (sem resolver ainda):
  • Relação entre tensão de linha e tensão de fase em sistema estrela com sequência direta: a tensão de fase (por exemplo \dot{V}_{AN}) é \dfrac{1}{\sqrt{3}} da tensão de linha correspondente e deslocada em -30^\circ: \dot{V}_{AN}=\dfrac{\dot{V}_{AB}}{\sqrt{3}}\angle(-30^\circ) (ver explicação depois).
  • Para carga em triângulo equilibrado, o equivalente estrela por fase é \;Z_{Y,\Delta}=\dfrac{Z_\Delta}{3}.
  • Impedâncias em paralelo: \;Z_{par}=\dfrac{Z_1 Z_2}{Z_1+Z_2}.
  • Circuito por fase: \dot{V}_{fase\_gerador} em série com \;Z_l e com a impedância equivalente por fase da associação paralela das cargas. A corrente de linha por fase é \dot{I}=\dfrac{\dot{V}_{fase\_gerador}}{Z_l+Z_{carga\_por\_fase}}.
  • Tensão de fase na carga: \dot{V}_{fase\_carga}=\dot{I}\,Z_{carga\_por\_fase}.
  • Tensão de linha na carga: \dot{V}_{LL,carga}=\sqrt{3}\angle 30^\circ\; \dot{V}_{fase\_carga}.

Passo 2

Transformar a tensão de linha do gerador em tensão de fase (tensão fase-neutro do gerador).
Explicação didática curta: num sistema estrela equilibrado e sequência direta (abc), as tensões de linha e de fase são relacionadas por um fator \sqrt{3} e um deslocamento de 30^\circ. Em particular, para a linha AB e a fase A vale
\dot{V}_{AN}=\frac{\dot{V}_{AB}}{\sqrt{3}}\angle(-30^\circ).
Isto vem de \dot{V}_{AB}=\dot{V}_A-\dot{V}_B=\sqrt{3}\angle 30^\circ\\ \dot{V}_A em sequência direta; isolando \dot{V}_A obtém-se a fórmula acima.
Aplicando ao problema (uso a letra A para fase A):
\dot{V}_{AN}=\frac{22\angle 35^\circ}{\sqrt{3}}\angle(-30^\circ) = \frac{22}{\sqrt{3}}\angle(35^\circ-30^\circ).
Calcule numericamente:
\frac{22}{\sqrt{3}} \approx 12{,}702.
Logo
\dot{V}_{AN}=12{,}702\angle 5^\circ\\ \text{V}.

Passo 3

Converter a carga em triângulo para estrela equivalente e obter a impedância equivalente por fase das duas cargas em paralelo.
Explicação didática: uma carga em triângulo equilibrado com impedância por cada ramo \;Z_\Delta é equivalente, vista entre cada fase e o neutro, a uma impedância estrela \;Z_{Y,\Delta}=\dfrac{Z_\Delta}{3}. Depois disso, como as duas cargas (a estrela original e a estrela equivalente do triângulo) estão ligadas em paralelo entre fase e neutro, a impedância total por fase é o paralelo entre elas:
Z_{p}=\frac{Z_Y \; Z_{Y,\Delta}}{Z_Y+Z_{Y,\Delta}}.
Aplicando os números:
Z_{Y,\Delta}=\frac{Z_\Delta}{3}=\frac{3+\mathrm{j}4}{3}=1+\mathrm{j}\,1{,}333333\\ \Omega.
Agora calculo o paralelo com Z_Y=4+\mathrm{j}6.
Faço produto e soma:
Z_Y\cdot Z_{Y,\Delta}=(4+\mathrm{j}6)(1+\mathrm{j}\,1{,}333333)=-4+\mathrm{j}\,11{,}333333.
Z_Y+Z_{Y,\Delta}=5+\mathrm{j}\,7{,}333333.
Dividindo (multiplicando por conjugada ou usando fórmula), obtenho uma forma exata conveniente:
Z_p=\frac{-4+\mathrm{j}\,11{,}333333}{5+\mathrm{j}\,7{,}333333} =\frac{568}{709}+\mathrm{j}\,\frac{774}{709}.
Convertendo para decimais:
Z_p\approx 0{,}80113+\mathrm{j}\,1{,}09180\\ \Omega.
Observação: deixei a forma em frações exatas \dfrac{568}{709} e \dfrac{774}{709} para você ver que não é aproximação arbitrária; depois usei aproximação para computos numéricos.

Passo 4

Formar a impedância total por fase vista pelo gerador somando a impedância da linha com a impedância equivalente da carga por fase.
Fórmula:
Z_{total}=Z_l+Z_p.
Substituindo:
Z_{total}=(0{,}2+\mathrm{j}\,0{,}3)+(0{,}80113+\mathrm{j}\,1{,}09180) =1{,}00113+\mathrm{j}\,1{,}39180\\ \Omega.
Calculo agora sua magnitude e ângulo (úteis para divisão de fasores):
|Z_{total}|=\sqrt{(1{,}00113)^2+(1{,}39180)^2}\approx 1{,}71566\\ \Omega,
\angle Z_{total}=\arctan\!\left(\frac{1{,}39180}{1{,}00113}\right)\approx 54{,}27^\circ.

Passo 5

Calcular a corrente de linha por fase: \dot{I}=\dfrac{\dot{V}_{AN}}{Z_{total}}.
Explicação didática: em circuito série por fase, a corrente é a tensão de fase do gerador dividida pela impedância série total. A divisão de fasores corresponde a dividir magnitudes e subtrair ângulos:
\dot{I}=\frac{12{,}702\angle 5^\circ}{1{,}71566\angle 54{,}27^\circ} =\frac{12{,}702}{1{,}71566}\angle(5^\circ-54{,}27^\circ).
Calcule numericamente:
|\dot{I}|=\frac{12{,}702}{1{,}71566}\approx 7{,}405\\ \text{A},
\angle \dot{I}=5^\circ-54{,}27^\circ\approx -49{,}27^\circ.
Portanto
\dot{I}\approx 7{,}405\angle -49{,}27^\circ\\ \text{A}
é a corrente de linha (por fase). Observação prática: em sistema estrela equilibrado a corrente de linha é igual à corrente de fase que percorre cada fase da carga.

Passo 6

Calcular a tensão de fase na carga (fase-neutro no ponto da carga) e, a partir dela, a tensão de linha na carga.
Primeiro a tensão de fase na carga:
\dot{V}_{AN,carga}=\dot{I}\;Z_p.
Expressões em fasor (uso forma polar para multiplicar magnitudes e somar ângulos). Para isso obtenho a magnitude e ângulo de Z_p:
|Z_p|=\sqrt{(0{,}80113)^2+(1{,}09180)^2}\approx 1{,}3530\\ \Omega,
\angle Z_p=\arctan\!\left(\frac{1{,}09180}{0{,}80113}\right)\approx 53{,}98^\circ.
Multiplicando:
\dot{V}_{AN,carga}=7{,}405\angle -49{,}27^\circ \times 1{,}3530\angle 53{,}98^\circ
\Rightarrow |\dot{V}_{AN,carga}|=7{,}405\times 1{,}3530\approx 10{,}02\\ \text{V},
\angle \dot{V}_{AN,carga}=-49{,}27^\circ+53{,}98^\circ\approx 4{,}71^\circ.
Logo
\dot{V}_{AN,carga}\approx 10{,}02\angle 4{,}71^\circ\\ \text{V}.
Agora a tensão de linha (entre duas fases) no ponto da carga. Relação (para sequência direta):
\dot{V}_{AB,carga}=\sqrt{3}\angle 30^\circ\;\dot{V}_{AN,carga}.
Multiplicando:
|\dot{V}_{AB,carga}|=\sqrt{3}\times 10{,}02\approx 17{,}36\\ \text{V},
\angle \dot{V}_{AB,carga}=4{,}71^\circ+30^\circ=34{,}71^\circ.
Logo
\dot{V}_{AB,carga}\approx 17{,}36\angle 34{,}71^\circ\\ \text{V}.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica de prova (rápida e prática):
  • A corrente de linha por fase obtida é a mesma para as três fases (sistema equilibrado). Em prova, calcule só a fase A e replique com deslocamentos de 120^\circ se precisarem das outras fases.
  • Processo resumido para resolver rapidamente numa prova:
    1. Converter V_{LL} do gerador para V_{fase}.
    2. Converter Z_\Delta para Z_Y dividindo por 3.
    3. Fazer paralelo entre Z_Y e Z_{Y,\Delta} para achar Z_{carga\_fase}.
    4. Somar Z_l e Z_{carga\_fase}; dividir V_{fase} por isso para obter I.
    5. Multiplicar I por Z_{carga\_fase} para obter V_{fase} na carga e usar \sqrt{3}\angle 30^\circ para passar para tensão de linha.
  • Fique atento aos sinais de ângulo: dividir faz diferença de ângulos, multiplicar soma ângulos.

Resposta

\dot{I}_{linha}\approx 7{,}405\angle -49{,}27^\circ\\ \text{A}\n
\dot{V}_{AB,\text{carga}}\approx 17{,}36\angle 34{,}71^\circ\\ \text{V}

Exercícios relacionados