Esboce o Diagrama de Bode para as funções de transferência abaixo, sendo s=j \omega. H_{1}(s)=\frac{0,2(10+s)}{s(2+s)}
Passo 1
O enunciado pede: “Esboce o Diagrama de Bode para a função de transferência H_{1}(s)=\dfrac{0,2(10+s)}{s(2+s)}, com s=j\omega.”
Informações dadas:
Função de transferência: H_{1}(s)=\dfrac{0,2(10+s)}{s(2+s)}.
Substituição para Bode: s=j\omega.
Pedido: esboçar o Diagrama de Bode (magnitude em dB e fase em graus) — ou seja, determinar polos/zeros, frequências de canto, inclinações assintóticas e comportamento de fase para várias faixas de \omega.
Passo 2
Colocar H_{1}(s) em forma padrão de fatores (normalizando polos/zeros) para facilitar o desenho.
Começo por fatorar os termos afim de obter fatores 1+j\omega/\omega_c:
Polo na origem (s=0) devido ao j\omega no denominador (integrador).
Passo 3
Regras de construção do Diagrama de Bode (recordando a ideia):
Cada polo/zero de primeira ordem altera a inclinação da magnitude em \pm 20\\ \text{dB/dec} a partir da frequência de canto correspondente.
Polo na origem (integrador) contribui com inclinação de -20\\ \text{dB/dec} em toda a faixa e fase -90^\circ.
Um zero de primeira ordem adiciona +20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto e contribui entre 0^\circ e +90^\circ na fase (transição centrada na frequência de canto).
Um polo de primeira ordem adiciona -20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto e contribui entre 0^\circ e -90^\circ na fase.
Identificar frequências de canto e inclinações assintóticas:
Frequências de canto: \omega_{p1}=2\\ \text{rad/s} (polo), \omega_{z}=10\\ \text{rad/s} (zero). O polo na origem não tem “canto”, ele já impõe a inclinação desde \omega\to0.
Regiões e inclinações assintóticas para a magnitude:
\omega \ll 2: predominam os fatores constantes, o integrador domina ⇒ inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
2 \lesssim \omega \lesssim 10: soma do integrador (-20) + polo em 2 (-20) ⇒ inclinação total -40\\ \text{dB/dec}.
\omega \gg 10: integrador (-20) + polo em 2 (-20) + zero em 10 (+20) ⇒ inclinação resultante -20\\ \text{dB/dec}.
Observação prática útil: como a constante global ficou 1, a assíntota de baixa frequência passa por 0\\ \text{dB} em \omega=1 aproximadamente (use 20\log_{10}(1/\omega) para referência).
Passo 5
Calcular valores de magnitude e fase em pontos-chave para ajudar no esboço (faça isso na prova para posicionar pontos exatos):
Usarei os pontos \omega=0{,}1,\;1,\;2,\;10,\;100 (em rad/s). Lembre que 20\log_{10}x dá dB.
Estes pontos numéricos ajudam a posicionar a curva real (não só as assíntotas).
Passo 6
Como traçar a magnitude (passo-a-passo prático para a prova):
Desenhe escala logarítmica no eixo horizontal (frequência \omega).
Marque as frequências de canto \omega=2 e \omega=10.
Para \omega\ll 2: trace uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Como a constante global é 1, essa reta passa aproximadamente por 0\\ \text{dB} em \omega=1 (ver cálculo em \omega=1 que deu -0{,}92\\ \text{dB}).
Em \omega=2 adiciona-se outra queda de -20\\ \text{dB/dec} (polo), portanto para 2<\omega<10 a inclinação total será -40\\ \text{dB/dec}.
Em \omega=10 aparece o zero, que acrescenta +20\\ \text{dB/dec}, ficando a inclinação para \omega>10 igual a -20\\ \text{dB/dec}.
Use os valores calculados (por ex. \approx20\\ \text{dB} em \omega=0{,}1, -0{,}92\\ \text{dB} em \omega=1, -8{,}85\\ \text{dB} em \omega=2, -31{,}14\\ \text{dB} em \omega=10, -53{,}93\\ \text{dB} em \omega=100) para ajustar a curva real em torno das assíntotas.
Lembre-se de suavizar a transição nas bandas de canto: atores de 1ª ordem mudam a fase e a magnitude gradualmente em cerca de uma década abaixo até uma década acima da frequência de canto (a aproximação comum é transição centrada na frequência de canto, com erro \approx\pm 3\\ \text{dB} no ponto de canto).
Passo 7
Como traçar a fase (passo-a-passo prático):
A fase total é \angle H_{1}(\omega)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right)-90^\circ-\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right).
Para \omega\ll 2: \arctan(\omega/10)\approx0^\circ e \arctan(\omega/2)\approx0^\circ ⇒ fase inicial \approx-90^\circ.
Na vizinhança de \omega=2 o polo começa a reduzir a fase ao longo de aproximadamente uma década (de \sim 0{,}2 a \sim 20 rad/s); o polo em 2 vai arrastar a fase mais negativa até cerca de -90^\circ adicional (totalizando -180^\circ) se o zero não existisse.
Na vizinhança de \omega=10 o zero começa a aumentar a fase (adiciona até +90^\circ), compensando parcialmente o efeito do polo.
No limite \omega\to\infty: \arctan(\omega/10)\to90^\circ e \arctan(\omega/2)\to90^\circ ⇒ fase final \to 90^\circ-90^\circ-90^\circ=-90^\circ. Logo a fase começa em -90^\circ, desce (mínimo ≈ -124^\circ segundo cálculos) e retorna assintoticamente para -90^\circ.
Use os valores calculados em \omega=0{,}1,1,2,10,100 para posicionar a curva de fase no esboço (por exemplo em \omega=2 e \omega=10 a fase estava em cerca de -123{,}7^\circ).
Passo 8
Resumindo o esboço (passos práticos finais para desenhar na folha):
Desce até cerca de -124^\circ entre \omega\sim 1 e \omega\sim 10 (mínimo próximo a -123{,}7^\circ nos cálculos).
Volta para -90^\circ para \omega\to\infty.
Marcar pontos de fase calculados: \omega=0{,}1:\approx-92{,}3^\circ; \omega=1:\approx-110{,}9^\circ; \omega=2:\approx-123{,}7^\circ; \omega=10:\approx-123{,}7^\circ; \omega=100:\approx-94{,}6^\circ.
Resposta
Pontos-chave para o Diagrama de Bode de H_{1}(s)=\dfrac{0,2(10+s)}{s(2+s)}:
Polo na origem (integrador), polo em \omega=2\\ \text{rad/s}, zero em \omega=10\\ \text{rad/s}.
Esses dados e as inclinações assintóticas permitem esboçar a curva de magnitude (com quebras em \omega=2 e \omega=10) e a curva de fase (começa em -90^\circ, desce para cerca de -124^\circ e volta assintoticamente para -90^\circ).