Esboce o Diagrama de Bode para as funções de transferência abaixo, sendo s=j \omega.
H_{1}(s)=\frac{0,2(10+s)}{s(2+s)}

Passo 1

O enunciado pede: “Esboce o Diagrama de Bode para a função de transferência H_{1}(s)=\dfrac{0,2(10+s)}{s(2+s)}, com s=j\omega.”
Informações dadas:
  • Função de transferência: H_{1}(s)=\dfrac{0,2(10+s)}{s(2+s)}.
  • Substituição para Bode: s=j\omega.
  • Pedido: esboçar o Diagrama de Bode (magnitude em dB e fase em graus) — ou seja, determinar polos/zeros, frequências de canto, inclinações assintóticas e comportamento de fase para várias faixas de \omega.

Passo 2

Colocar H_{1}(s) em forma padrão de fatores (normalizando polos/zeros) para facilitar o desenho.
Começo por fatorar os termos afim de obter fatores 1+j\omega/\omega_c:
j\omega+10 = 10\Bigl(1+j\frac{\omega}{10}\Bigr), \qquad j\omega+2 = 2\Bigl(1+j\frac{\omega}{2}\Bigr).
Substituindo em H_{1}(j\omega):
H_{1}(j\omega)=\dfrac{0,2\cdot 10\bigl(1+j\frac{\omega}{10}\bigr)}{j\omega\cdot 2\bigl(1+j\frac{\omega}{2}\bigr)} =\dfrac{1\cdot\bigl(1+j\frac{\omega}{10}\bigr)}{j\omega\bigl(1+j\frac{\omega}{2}\bigr)}.
Ou seja, a constante multiplicativa simplificou para 1 e a função fica:
H_{1}(j\omega)=\dfrac{1+j\frac{\omega}{10}}{j\omega\left(1+j\frac{\omega}{2}\right)}.
Interpretação imediata dos polos/zeros:
  • Zero em \omega=10 rad/s (fator \;1+j\omega/10\;).
  • Polo em \omega=2 rad/s (fator \;1+j\omega/2\;).
  • Polo na origem ( s=0) devido ao j\omega no denominador (integrador).

Passo 3

Regras de construção do Diagrama de Bode (recordando a ideia):
  • Cada polo/zero de primeira ordem altera a inclinação da magnitude em \pm 20\\ \text{dB/dec} a partir da frequência de canto correspondente.
  • Polo na origem (integrador) contribui com inclinação de -20\\ \text{dB/dec} em toda a faixa e fase -90^\circ.
  • Um zero de primeira ordem adiciona +20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto e contribui entre 0^\circ e +90^\circ na fase (transição centrada na frequência de canto).
  • Um polo de primeira ordem adiciona -20\\ \text{dB/dec} a partir da sua frequência de canto e contribui entre 0^\circ e -90^\circ na fase.
  • A magnitude em dB pode ser escrita como
20\log_{10}|H_{1}(j\omega)|=20\log_{10}\bigl|1+j\frac{\omega}{10}\bigr|-20\log_{10}\omega-20\log_{10}\bigl|1+j\frac{\omega}{2}\bigr|.
  • A fase é
\angle H_{1}(j\omega)=\arctan\!\left(\frac{\omega}{10}\right)-90^\circ-\arctan\!\left(\frac{\omega}{2}\right).

Passo 4

Identificar frequências de canto e inclinações assintóticas:
  • Frequências de canto: \omega_{p1}=2\\ \text{rad/s} (polo), \omega_{z}=10\\ \text{rad/s} (zero). O polo na origem não tem “canto”, ele já impõe a inclinação desde \omega\to0.
  • Regiões e inclinações assintóticas para a magnitude:
    • \omega \ll 2: predominam os fatores constantes, o integrador domina ⇒ inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • 2 \lesssim \omega \lesssim 10: soma do integrador ( -20) + polo em 2 ( -20) ⇒ inclinação total -40\\ \text{dB/dec}.
    • \omega \gg 10: integrador ( -20) + polo em 2 ( -20) + zero em 10 ( +20) ⇒ inclinação resultante -20\\ \text{dB/dec}.
Observação prática útil: como a constante global ficou 1, a assíntota de baixa frequência passa por 0\\ \text{dB} em \omega=1 aproximadamente (use 20\log_{10}(1/\omega) para referência).

Passo 5

Calcular valores de magnitude e fase em pontos-chave para ajudar no esboço (faça isso na prova para posicionar pontos exatos):
Usarei os pontos \omega=0{,}1,\;1,\;2,\;10,\;100 (em rad/s). Lembre que 20\log_{10}x dá dB.
  1. \omega=0{,}1
  • \bigl|1+j\frac{\omega}{10}\bigr|=\sqrt{1+\left(\frac{0{,}1}{10}\right)^2}=\sqrt{1+0{,}0001}\approx1{,}00005.
  • \omega=0{,}1\Rightarrow\;|j\omega|=0{,}1.
  • \bigl|1+j\frac{\omega}{2}\bigr|=\sqrt{1+\left(\frac{0{,}1}{2}\right)^2}=\sqrt{1+0{,}0025}\approx1{,}00125.
  • Magnitude linear \;|H_{1}| \approx \dfrac{1{,}00005}{0{,}1\cdot 1{,}00125}\approx 9{,}994.
  • Em dB: 20\log_{10}9{,}994\approx20{,}0\\ \text{dB}.
  • Fase: \arctan(0{,}01)\approx0{,}573^\circ,\\ \arctan(0{,}05)\approx2{,}862^\circ. \angle H_{1}\approx0{,}573^\circ-90^\circ-2{,}862^\circ\approx-92{,}29^\circ.
  1. \omega=1
  • \bigl|1+j\frac{1}{10}\bigr|=\sqrt{1+0{,}1^2}\approx1{,}00499.
  • |j\omega|=1.
  • \bigl|1+j\frac{1}{2}\bigr|=\sqrt{1+0{,}5^2}\approx1{,}11803.
  • Magnitude linear \approx\dfrac{1{,}00499}{1\cdot 1{,}11803}\approx0{,}8995.
  • Em dB: 20\log_{10}0{,}8995\approx-0{,}92\\ \text{dB}.
  • Fase: \arctan(0{,}1)\approx5{,}71^\circ,\\ \arctan(0{,}5)\approx26{,}565^\circ. \angle H_{1}\approx5{,}71^\circ-90^\circ-26{,}565^\circ\approx-110{,}85^\circ.
  1. \omega=2 (frequência de canto do polo)
  • \bigl|1+j\frac{2}{10}\bigr|=\sqrt{1+0{,}2^2}\approx1{,}0199.
  • |j\omega|=2.
  • \bigl|1+j\frac{2}{2}\bigr|=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}\approx1{,}4142.
  • Magnitude linear \approx\dfrac{1{,}0199}{2\cdot 1{,}4142}\approx0{,}3606.
  • Em dB: 20\log_{10}0{,}3606\approx-8{,}85\\ \text{dB}.
  • Fase: \arctan(0{,}2)\approx11{,}31^\circ,\\ \arctan(1)=45^\circ. \angle H_{1}\approx11{,}31^\circ-90^\circ-45^\circ\approx-123{,}69^\circ.
  1. \omega=10 (frequência de canto do zero)
  • \bigl|1+j\frac{10}{10}\bigr|=\sqrt{1+1^2}=\sqrt{2}\approx1{,}4142.
  • |j\omega|=10.
  • \bigl|1+j\frac{10}{2}\bigr|=\sqrt{1+5^2}=\sqrt{26}\approx5{,}099.
  • Magnitude linear \approx\dfrac{1{,}4142}{10\cdot 5{,}099}\approx0{,}02773.
  • Em dB: 20\log_{10}0{,}02773\approx-31{,}14\\ \text{dB}.
  • Fase: \arctan(1)=45^\circ,\\ \arctan(5)\approx78{,}69^\circ. \angle H_{1}\approx45^\circ-90^\circ-78{,}69^\circ\approx-123{,}69^\circ.
  1. \omega=100
  • \bigl|1+j\frac{100}{10}\bigr|=\sqrt{1+10^2}\approx10{,}05.
  • |j\omega|=100.
  • \bigl|1+j\frac{100}{2}\bigr|=\sqrt{1+50^2}\approx50{,}01.
  • Magnitude linear \approx\dfrac{10{,}05}{100\cdot 50{,}01}\approx0{,}002009.
  • Em dB: 20\log_{10}0{,}002009\approx-53{,}93\\ \text{dB}.
  • Fase: \arctan(10)\approx84{,}29^\circ,\\ \arctan(50)\approx88{,}85^\circ. \angle H_{1}\approx84{,}29^\circ-90^\circ-88{,}85^\circ\approx-94{,}56^\circ.
Estes pontos numéricos ajudam a posicionar a curva real (não só as assíntotas).

Passo 6

Como traçar a magnitude (passo-a-passo prático para a prova):
  1. Desenhe escala logarítmica no eixo horizontal (frequência \omega).
  2. Marque as frequências de canto \omega=2 e \omega=10.
  3. Para \omega\ll 2: trace uma reta com inclinação -20\\ \text{dB/dec}. Como a constante global é 1, essa reta passa aproximadamente por 0\\ \text{dB} em \omega=1 (ver cálculo em \omega=1 que deu -0{,}92\\ \text{dB}).
  4. Em \omega=2 adiciona-se outra queda de -20\\ \text{dB/dec} (polo), portanto para 2<\omega<10 a inclinação total será -40\\ \text{dB/dec}.
  5. Em \omega=10 aparece o zero, que acrescenta +20\\ \text{dB/dec}, ficando a inclinação para \omega>10 igual a -20\\ \text{dB/dec}.
  6. Use os valores calculados (por ex. \approx20\\ \text{dB} em \omega=0{,}1, -0{,}92\\ \text{dB} em \omega=1, -8{,}85\\ \text{dB} em \omega=2, -31{,}14\\ \text{dB} em \omega=10, -53{,}93\\ \text{dB} em \omega=100) para ajustar a curva real em torno das assíntotas.
  7. Lembre-se de suavizar a transição nas bandas de canto: atores de 1ª ordem mudam a fase e a magnitude gradualmente em cerca de uma década abaixo até uma década acima da frequência de canto (a aproximação comum é transição centrada na frequência de canto, com erro \approx\pm 3\\ \text{dB} no ponto de canto).

Passo 7

Como traçar a fase (passo-a-passo prático):
  1. A fase total é \angle H_{1}(\omega)=\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{10}\right)-90^\circ-\arctan\!\left(\dfrac{\omega}{2}\right).
  2. Para \omega\ll 2: \arctan(\omega/10)\approx0^\circ e \arctan(\omega/2)\approx0^\circ ⇒ fase inicial \approx-90^\circ.
  3. Na vizinhança de \omega=2 o polo começa a reduzir a fase ao longo de aproximadamente uma década (de \sim 0{,}2 a \sim 20 rad/s); o polo em 2 vai arrastar a fase mais negativa até cerca de -90^\circ adicional (totalizando -180^\circ) se o zero não existisse.
  4. Na vizinhança de \omega=10 o zero começa a aumentar a fase (adiciona até +90^\circ), compensando parcialmente o efeito do polo.
  5. No limite \omega\to\infty: \arctan(\omega/10)\to90^\circ e \arctan(\omega/2)\to90^\circ ⇒ fase final \to 90^\circ-90^\circ-90^\circ=-90^\circ. Logo a fase começa em -90^\circ, desce (mínimo ≈ -124^\circ segundo cálculos) e retorna assintoticamente para -90^\circ.
  6. Use os valores calculados em \omega=0{,}1,1,2,10,100 para posicionar a curva de fase no esboço (por exemplo em \omega=2 e \omega=10 a fase estava em cerca de -123{,}7^\circ).

Passo 8

Resumindo o esboço (passos práticos finais para desenhar na folha):
  • Eixo horizontal: escala logaritmica (por exemplo 0{,}1, 1, 2, 10, 100).
  • Magnitude:
    • Reta inicial (baixo \omega): inclinação -20\\ \text{dB/dec}, passa perto de 0\\ \text{dB} em \omega=1.
    • Em \omega=2 acrescentar uma queda extra de -20\\ \text{dB/dec} (total -40\\ \text{dB/dec} entre 2 e 10).
    • Em \omega=10 somar +20\\ \text{dB/dec} (resultando em -20\\ \text{dB/dec} para \omega>10).
    • Marcar pontos exatos: \omega=0{,}1:\approx20\\ \text{dB}; \omega=1:\approx-0{,}92\\ \text{dB}; \omega=2:\approx-8{,}85\\ \text{dB}; \omega=10:\approx-31{,}14\\ \text{dB}; \omega=100:\approx-53{,}93\\ \text{dB}.
  • Fase:
    • No baixo \omega: \approx-90^\circ.
    • Desce até cerca de -124^\circ entre \omega\sim 1 e \omega\sim 10 (mínimo próximo a -123{,}7^\circ nos cálculos).
    • Volta para -90^\circ para \omega\to\infty.
    • Marcar pontos de fase calculados: \omega=0{,}1:\approx-92{,}3^\circ; \omega=1:\approx-110{,}9^\circ; \omega=2:\approx-123{,}7^\circ; \omega=10:\approx-123{,}7^\circ; \omega=100:\approx-94{,}6^\circ.

Resposta

Pontos-chave para o Diagrama de Bode de H_{1}(s)=\dfrac{0,2(10+s)}{s(2+s)}:
  • Polo na origem (integrador), polo em \omega=2\\ \text{rad/s}, zero em \omega=10\\ \text{rad/s}.
  • Magnitude (assíntotas):
    • \omega\ll 2: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
    • 2\lesssim\omega\lesssim10: inclinação -40\\ \text{dB/dec}.
    • \omega\gg 10: inclinação -20\\ \text{dB/dec}.
  • Valores numéricos úteis (magnitude em dB; fase em graus):
    • \omega=0{,}1:\\ |H|\approx20,0\\ \text{dB},\\ \angle H\approx-92{,}3^\circ.
    • \omega=1:\\ |H|\approx-0{,}92\\ \text{dB},\\ \angle H\approx-110{,}9^\circ.
    • \omega=2:\\ |H|\approx-8{,}85\\ \text{dB},\\ \angle H\approx-123{,}7^\circ.
    • \omega=10:\\ |H|\approx-31{,}14\\ \text{dB},\\ \angle H\approx-123{,}7^\circ.
    • \omega=100:\\ |H|\approx-53{,}93\\ \text{dB},\\ \angle H\approx-94{,}6^\circ.
Esses dados e as inclinações assintóticas permitem esboçar a curva de magnitude (com quebras em \omega=2 e \omega=10) e a curva de fase (começa em -90^\circ, desce para cerca de -124^\circ e volta assintoticamente para -90^\circ).

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