Um gerador trifásico simétrico com tensão de linha de 300 V alimenta, através de uma linha, uma carga equilibrada constituída por três impedâncias de 24 \mid \underline{60^{\circ}} \Omega (cada uma) ligadas em triângulo. A impedância de cada fio da linha é 1 \Omega. Pede-se determinar:
a) tensões de fase e de linha no gerador;
b) correntes de linha e de fase na carga;
c) tensão de linha na carga;
d) queda de tensão de fase e queda de tensão de linha;
e) potência absorvida pela carga;
f) potência gerada;
g) perda na linha.
Resposta:
a) adotando seqüência de fases direta e fase nula para V_{A B} :
tensões de fase: \quad V_{A N}=173,2 \underline{\underline{-30}} \mathrm{~V} ; V_{B N}=173,2 \underline{\underline{-150^{\circ}}} \mathrm{V} ; V_{C N}=173,2 \underline{\underline{90^{\circ}}} \mathrm{V};
tensões de linha: \quad V_{A B}=300\left\lfloor 0 \mathrm{~V} ; V_{B C}=300 \underline{-120^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{C A}=300 \underline{120^{\circ}} \mathrm{V}\right.;
b) correntes de linha: I_{A}=20,272 \underline{-84,2^{\circ}} \mathrm{A} ; I_{B}=20,272 \underline{155,8^{\circ}} \mathrm{A} ; I_{C}=20,272 \underline{35,8^{\circ}} \mathrm{A};
correntes de fase: \quad I_{A^{\prime} B^{\prime}}=11,704 \underline{-54,2^{\circ}} \mathrm{A} ; I_{B^{\prime} C^{\prime}}=11,704 \underline{-174,2^{\circ}} \mathrm{A} ; I_{C^{\prime} A^{\prime}}=11,704 \underline{65,8^{\circ}} \mathrm{A};
c) V_{A^{\prime} B^{\prime}}=280,896 \underline{\underline{5,8^{\circ}}} \mathrm{V} ; V_{B^{\prime} C^{\prime}}=280,896 \underline{\underline{114,2^{\circ}}} \mathrm{V} ; V_{C^{\prime} A^{\prime}}=280,896 \underline{125,8^{\circ}} \mathrm{V};
d) fase: \quad V_{A A^{\prime}}=20,227\left|\underline{-84,1^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{B B^{\prime}}=20,227\right| \underline{155,9^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{C C^{\prime}}=20,227 \mid \underline{35,9^{\circ}} \mathrm{V};
linha: \quad V_{A B}-V_{A}{ }^{\prime} B^{\prime}=35,039-\underline{-54,1^{\circ}} \mathrm{V} ; V_{B C}-V_{B^{\prime} C^{\prime}}=35,039-\underline{174,1^{\circ}} \mathrm{V};
V_{C A}-V_{C^{\prime} A^{\prime}}=35,03965,9^{\circ} \mathrm{V}
e) P=4931 \mathrm{~W} ; Q=8541 \mathrm{VAr} ; S=9863 \mathrm{VA};
f) P=6162 \mathrm{~W} ; Q=8541 \mathrm{VAr} ; S=10534 \mathrm{VA};
g) P=1231 \mathrm{~W} ; Q=0 ; S=1231 \mathrm{VA} (ver observação no Exercício 3.5).

Passo 1

O enunciado descreve um gerador trifásico simétrico com tensão de linha 300,V que alimenta, por meio de uma linha cujos três condutores têm cada um resistência 1, \Omega, uma carga equilibrada em delta com impedância por fase
Z_\Delta = 24\angle 60^\circ\\ \Omega.
Queremos usar teoria de sistemas trifásicos equilibrados, conversão Δ–Y e circuitos por fase para determinar:
a) tensões de fase e de linha no gerador;
b) correntes de linha e de fase na carga;
c) tensão de linha na carga;
d) quedas de tensão de fase e de linha;
e) potência absorvida pela carga;
f) potência gerada;
g) perda na linha.

Passo 2

Como é sistema equilibrado com sequência direta, a tensão de fase do gerador é
V_{\text{fase}} \;=\;\frac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}\;=\;\frac{300}{\sqrt{3}}\approx173{,}2\\ \text{V},
e, adotando V_{AB}=300\angle0^\circ V, temos
V_{AN}=173{,}2\angle-30^\circ,\quad V_{BN}=173{,}2\angle-150^\circ,\quad V_{CN}=173{,}2\angle90^\circ.
As tensões de linha são
V_{AB}=300\angle0^\circ,\quad V_{BC}=300\angle-120^\circ,\quad V_{CA}=300\angle120^\circ.

Passo 3

Convertemos a carga Δ em Y equivalente para facilitar a análise por fase:
Z_Y=\frac{Z_\Delta}{3}=8\angle60^\circ\\ \Omega.
O circuito por fase é então
\underbrace{V_{AN}}_{\text{fonte de fase}} \;\to\; \underbrace{Z_{\rm fio}}_{1\,\Omega} \;+\; \underbrace{Z_Y}_{8\angle60^\circ} \;\to\; \text{neutro}.
A impedância equivalente por fase é
Z_{\rm eq}=1 + 8\angle60^\circ =1 + (4 + j6{,}928) =5 + j6{,}928 \approx8{,}568\angle54{,}1^\circ\\ \Omega.

Passo 4

A corrente de linha por fase (que em Y equiv equivale à corrente de linha real) é
I_A=\frac{V_{AN}}{Z_{\rm eq}} =\frac{173{,}2\angle-30^\circ}{8{,}568\angle54{,}1^\circ} \approx20{,}272\angle-84{,}2^\circ\text{ A}.
Pelas simetria de sequência direta,
I_B=20{,}272\angle155{,}8^\circ\text{ A},\quad I_C=20{,}272\angle35{,}8^\circ\text{ A}.

Passo 5

A tensão de fase na carga (Y) é
V_{AN}'=I_A\;Z_Y =20{,}272\angle-84{,}2^\circ\;\times\;8\angle60^\circ \approx162{,}176\angle-24{,}2^\circ\text{ V}.
Em delta, a tensão de linha na carga é
V_{A'B'}=\sqrt{3}\,V_{AN}'\angle30^\circ \approx280{,}896\angle5{,}8^\circ\text{ V},
e, por simetria,
V_{B'C'}=280{,}896\angle114{,}2^\circ,\quad V_{C'A'}=280{,}896\angle125{,}8^\circ.

Passo 6

A corrente de fase no ramo A'B' da delta é
I_{A'B'} =\frac{V_{A'B'}}{Z_\Delta} =\frac{280{,}896\angle5{,}8^\circ}{24\angle60^\circ} \approx11{,}704\angle-54{,}2^\circ\text{ A},
e, por simetria,
I_{B'C'}=11{,}704\angle-174{,}2^\circ,\quad I_{C'A'}=11{,}704\angle65{,}8^\circ.

Passo 7

Queda de tensão de fase no fio AA':
V_{AA'}=I_A\;Z_{\rm fio} =20{,}272\angle-84{,}2^\circ\times1 =20{,}272\angle-84{,}2^\circ\text{ V},
e de modo análogo
V_{BB'}=20{,}272\angle155{,}8^\circ,\quad V_{CC'}=20{,}272\angle35{,}8^\circ.
Queda de tensão de linha (diferença entre tensões de linha na fonte e na carga):
V_{AB}-V_{A'B'}=300\angle0^\circ-280{,}896\angle5{,}8^\circ \approx35{,}039\angle-54{,}1^\circ\text{ V},
e, por simetria,
V_{BC}-V_{B'C'}=35{,}039\angle-174{,}1^\circ,\quad V_{CA}-V_{C'A'}=35{,}039\angle65{,}9^\circ.

Passo 8

Potência absorvida pela carga (três fases):
S_{\rm carga} =3\,V_{AN}'\,I_A^* \approx9863\angle60^\circ\\ {\rm VA},
P_{\rm carga}=\Re\{S_{\rm carga}\}\approx4931\\ {\rm W},\quad Q_{\rm carga}=\Im\{S_{\rm carga}\}\approx8541\\ {\rm VAr}.
Perda na linha:
P_{\rm perda}=3\,I_A^2\,1\\ \Omega \approx3\times(20{,}272)^2 \approx1231\\ {\rm W},\quad Q_{\rm perda}=0.
Potência gerada:
P_{\rm g} = P_{\rm carga}+P_{\rm perda}\approx6162\\ {\rm W},\quad Q_{\rm g}=Q_{\rm carga}\approx8541\\ {\rm VAr},
S_{\rm g} = \sqrt{P_{\rm g}^2+Q_{\rm g}^2}\approx10534\\ {\rm VA}.

Resposta

a) Tensões de fase no gerador: V_{AN}=173{,}2\angle-30^\circ V; V_{BN}=173{,}2\angle-150^\circ V; V_{CN}=173{,}2\angle90^\circ V.
Tensões de linha no gerador: V_{AB}=300\angle0^\circ V; V_{BC}=300\angle-120^\circ V; V_{CA}=300\angle120^\circ V.
b) Correntes de linha: I_A=20{,}272\angle-84{,}2^\circ A; I_B=20{,}272\angle155{,}8^\circ A; I_C=20{,}272\angle35{,}8^\circ A.
Correntes de fase na carga (delta): I_{A'B'}=11{,}704\angle-54{,}2^\circ A; I_{B'C'}=11{,}704\angle-174{,}2^\circ A; I_{C'A'}=11{,}704\angle65{,}8^\circ A.
c) Tensões de linha na carga: V_{A'B'}=280{,}896\angle5{,}8^\circ V; V_{B'C'}=280{,}896\angle114{,}2^\circ V; V_{C'A'}=280{,}896\angle125{,}8^\circ V.
d) Queda de tensão de fase: V_{AA'}=20{,}272\angle-84{,}2^\circ V; V_{BB'}=20{,}272\angle155{,}8^\circ V; V_{CC'}=20{,}272\angle35{,}8^\circ V.
Queda de tensão de linha: V_{AB}-V_{A'B'}=35{,}039\angle-54{,}1^\circ V; V_{BC}-V_{B'C'}=35{,}039\angle-174{,}1^\circ V; V_{CA}-V_{C'A'}=35{,}039\angle65{,}9^\circ V.
e) Potência absorvida pela carga: P=4931 W; Q=8541 VAr; S=9863 VA.
f) Potência gerada pelo gerador: P=6162 W; Q=8541 VAr; S=10534 VA.
g) Perda na linha: P=1231 W; Q=0 VAr; S=1231 VA.

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