Qual é a geratriz das dízimas periódicas abaixo?
5,12121212 \ldots

Passo 1

Resumimos o enunciado: queremos transformar a dízima periódica 5,12121212\ldots em fração. O conteúdo é a técnica de geratriz de dízima periódica, que consiste em definir uma variável igual ao número e usar multiplicação por potência de 10 para “deslocar” a parte periódica.

Passo 2

Definimos
x = 5,12121212\ldots
Como o período tem 2 dígitos (“12”), multiplicamos por 10^2=100 para alinhar as repetições:
100x = 512,12121212\ldots

Passo 3

Subtraímos a definição original da multiplicada:
100x - x = 512,12121212\ldots - 5,12121212\ldots
99x = 507
x = \frac{507}{99}

Passo 4

Basta simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{507}{99} = \frac{169}{33}

Resposta

\displaystyle \frac{169}{33}