Um glóbulo gelatinoso de 2 mm de diâmetro, contendo inicialmente 40 (mols de soluto)/(litros de gel), é posto em um tanque no qual há uma solução aquosa que apresenta 10 (mols de soluto)/(litros de solução). Admite-se a influência do meio externo à difusão do soluto no gel por intermédio de
. Transcorridas duas horas, verificou-se que a concentração média adimensional do soluto ficou igual a 0,05 . Supondo que ocorre reação química em todo o gel e há consumo de A por uma reação irreversível de primeira ordem à medida que ocorre a difusão, calcule a velocidade da reação, sabendo que o coeficiente efetivo de difusão do soluto no glóbulo é
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos um glóbulo gelatinoso com 2 mm de diâmetro, que inicialmente tem uma concentração de 40 mol/L de um soluto. Esse glóbulo é colocado em um tanque com uma solução aquosa que tem 10 mol/L do mesmo soluto. Após duas horas, a concentração média do soluto no gel caiu para 0,05 (essa é a concentração adimensional, ou seja, sem unidades). Além disso, sabemos que ocorre uma reação química de primeira ordem que consome o soluto à medida que ele difunde. Com o coeficiente de difusão efetivo dado como
, queremos descobrir a velocidade dessa reação.
Vamos precisar usar conceitos de difusão em meios porosos e cinética química de reações de primeira ordem para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes e fáceis de trabalhar. O diâmetro do glóbulo é de 2 mm, então o raio $ r $ é de 1 mm, que é igual a 0,1 cm.
Passo 3
A concentração inicial no gel é de 40 mol/L e na solução externa é de 10 mol/L. A diferença de concentração impulsiona a difusão do soluto para o interior do gel. A concentração adimensional média após duas horas é 0,05. Isso significa que a concentração média no gel após o tempo $ t $ é 5% da diferença inicial.
Passo 4
Sabemos que ocorre uma reação de primeira ordem, o que significa que a taxa de consumo do soluto é proporcional à sua concentração atual. A equação geral para uma reação de primeira ordem é:
onde $ k $ é a constante de taxa que queremos encontrar e $ C $ é a concentração do soluto.
Passo 5
Vamos relacionar a difusão com a reação. A difusão é descrita pela Lei de Fick:
onde $ J $ é o fluxo de difusão, $ D $ é o coeficiente de difusão, e $ \frac{dC}{dx} $ é o gradiente de concentração.
Mas como temos uma reação ocorrendo no interior do gel, precisamos considerar um balanço entre a difusão que traz o soluto para dentro e a reação que o consome.
Passo 6
Dado que a influência do meio externo é representada pelo número de Biot ($ \mathrm{BiM} = 1 $), isso indica que há uma resistência significativa tanto na transferência externa quanto na interna. Para simplificar, assumimos que o sistema está na condição de equilíbrio entre difusão e reação.
Passo 7
A concentração adimensional $ \theta $ é definida como:
onde $ C_0 $ é a concentração inicial. Após duas horas, $ \theta = 0,05 $.
Passo 8
Podemos usar a seguinte relação que conecta a concentração adimensional, o tempo, o coeficiente de difusão e a constante de taxa:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 9
Substituindo os valores conhecidos:
Primeiro, convertendo o tempo para segundos, já que o coeficiente de difusão está em cm²/s:
Passo 10
Calculando o logaritmo:
Então,
Resposta
A velocidade da reação é aproximadamente $ 4,16 \times 10^{-4} , s^{-1} $.