Um glóbulo gelatinoso de 2 mm de diâmetro, contendo inicialmente 40 (mols de soluto)/(litros de gel), é posto em um tanque no qual há uma solução aquosa que apresenta 10 (mols de soluto)/(litros de solução). Admite-se a influência do meio externo à difusão do soluto no gel por intermédio de BiM=1. Transcorridas duas horas, verificou-se que a concentração média adimensional do soluto ficou igual a 0,05 . Supondo que ocorre reação química em todo o gel e há consumo de A por uma reação irreversível de primeira ordem à medida que ocorre a difusão, calcule a velocidade da reação, sabendo que o coeficiente efetivo de difusão do soluto no glóbulo é 5,0 times 10^-7 cm^2 / s.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo! Temos um glóbulo gelatinoso com 2 mm de diâmetro, que inicialmente tem uma concentração de 40 mol/L de um soluto. Esse glóbulo é colocado em um tanque com uma solução aquosa que tem 10 mol/L do mesmo soluto. Após duas horas, a concentração média do soluto no gel caiu para 0,05 (essa é a concentração adimensional, ou seja, sem unidades). Além disso, sabemos que ocorre uma reação química de primeira ordem que consome o soluto à medida que ele difunde. Com o coeficiente de difusão efetivo dado como 5,0 times 10^-7 , cm^2/s, queremos descobrir a velocidade dessa reação.
Vamos precisar usar conceitos de difusão em meios porosos e cinética química de reações de primeira ordem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para que fiquem consistentes e fáceis de trabalhar. O diâmetro do glóbulo é de 2 mm, então o raio $ r $ é de 1 mm, que é igual a 0,1 cm.
r

Passo 3

A concentração inicial no gel é de 40 mol/L e na solução externa é de 10 mol/L. A diferença de concentração impulsiona a difusão do soluto para o interior do gel. A concentração adimensional média após duas horas é 0,05. Isso significa que a concentração média no gel após o tempo $ t $ é 5% da diferença inicial.

Passo 4

Sabemos que ocorre uma reação de primeira ordem, o que significa que a taxa de consumo do soluto é proporcional à sua concentração atual. A equação geral para uma reação de primeira ordem é:
Taxa = k cdot C
onde $ k $ é a constante de taxa que queremos encontrar e $ C $ é a concentração do soluto.

Passo 5

Vamos relacionar a difusão com a reação. A difusão é descrita pela Lei de Fick:
J = -D cdot dCdx
onde $ J $ é o fluxo de difusão, $ D $ é o coeficiente de difusão, e $ \frac{dC}{dx} $ é o gradiente de concentração.
Mas como temos uma reação ocorrendo no interior do gel, precisamos considerar um balanço entre a difusão que traz o soluto para dentro e a reação que o consome.

Passo 6

Dado que a influência do meio externo é representada pelo número de Biot ($ \mathrm{BiM} = 1 $), isso indica que há uma resistência significativa tanto na transferência externa quanto na interna. Para simplificar, assumimos que o sistema está na condição de equilíbrio entre difusão e reação.

Passo 7

A concentração adimensional $ \theta $ é definida como:
theta
onde $ C_0 $ é a concentração inicial. Após duas horas, $ \theta = 0,05 $.

Passo 8

Podemos usar a seguinte relação que conecta a concentração adimensional, o tempo, o coeficiente de difusão e a constante de taxa:
theta = e^-kt
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
ln(theta) = -kt

Passo 9

Substituindo os valores conhecidos:
ln(0,05) = -k cdot 2 , h
Primeiro, convertendo o tempo para segundos, já que o coeficiente de difusão está em cm²/s:
2 , h = 7200 , s
ln(0,05) = -k cdot 7200 , s

Passo 10

Calculando o logaritmo:
ln(0,05) approx -2,9957
Então,
-2,9957 = -k cdot 7200
k = 2,99577200 approx 0,000416 , s^-1

Resposta

A velocidade da reação é aproximadamente $ 4,16 \times 10^{-4} , s^{-1} $.

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