No gráfico de tração de uma amostra metálica observou-se uma região linear e uma não linear. A linear, està relacionado ao regime elástico descrito pela equação de Young. A não linear é a região plástica. Apresente uma matemática que podemos descrever a região não linear. Cite uma equação que descreva a região plástica e explique a razão que a região plástica não é linear.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Apresentar uma matemática que descreva a região não linear (regime plástico) do ensaio de tração.
- Citar pelo menos uma equação que descreva a região plástica.
- Explicar por que a região plástica não é linear.
Informações dadas / contexto que podemos usar:
- Há uma região linear (regime elástico) descrita pela lei de Young.
- Há uma região não linear (regime plástico) que precisamos modelar matematicamente.
- Não foram fornecidos dados numéricos; portanto vou explicar as equações, o significado físico das constantes e como ajustar as equações a dados experimentais.
Passo 2
Por que às vezes precisamos transformar as grandezas experimentais antes de ajustar uma lei plástica:
- Nos ensaios costuma-se trabalhar com tensão e deformação “de engenharia” (
, ), mas para modelar a plasticidade é comum usar as grandezas verdadeiras (mais consistentes com conservação de massa e com o comportamento real do material). - As relações de transformação (sem números, só fórmulas) são:
onde
é a tensão verdadeira,
é a deformação verdadeira,
e
são as grandezas de engenharia. Explicação rápida: isso corrige a mudança de área e dá uma medida aditiva da deformação, importante quando as deformações são grandes.
Passo 3
Apresentando uma equação simples e muito usada: a lei de Hollomon (power law) — serve para descrever a curva tensão vs deformação plástica (após o escoamento inicial):
Explicando cada termo:
-
é a tensão (em ensaios de plasticidade costuma-se usar , a tensão verdadeira). -
é a deformação plástica (tipicamente se quisermos separar a parte elástica). -
é a resistência à deformação (chamado coeficiente de resistência ou coeficiente de endurecimento), com unidades de tensão. -
é o expoente de encruamento (strain-hardening exponent), adimensional; controla a curvatura da curva plástica: quanto maior , mais “encurvamento” e mais trabalho para deformar o material.
Por que essa forma é prática? Porque, ao tomar logaritmos, a relação fica linear:
Isto é útil na prova: se tiver pontos experimentais, faça uma regressão linear em um gráfico
vs
para obter
(inclinação) e
(intercepto).
Passo 4
Variações úteis — quando usar uma constante de escoamento ou um termo de offset:
- Lei de Ludwik (inclui um termo de tensão de escoamento):
onde
é a tensão de escoamento (yield stress) — útil se houver uma etapa de escoamento bem definida antes do encruamento.
- Observação prática: se a curva elástica + escoamento for importante, subtrai-se a parte elástica para trabalhar só com
.
Passo 5
Uma equação que une elasticidade e plasticidade de forma contínua: Ramberg–Osgood. Uma forma comum é
Explicando:
-
é a deformação total verdadeira (ou engenharia, dependendo do ajuste; normalmente usa-se verdadeiras). -
é a parte elástica (Lei de Hooke). -
representa a parte plástica aproximada (relacionada à forma de Hollomon). - As constantes
, e têm os mesmos significados anteriores.
Por que esta forma é útil na prova: ela dá uma fórmula única que descreve a transição suave do regime linear elástico para o regime não linear plástico — muito prática para ajustar curvas e para cálculos de deslocamento em estruturas que passam de elástico a plástico.
Passo 6
Como determinar os parâmetros a partir de dados experimentais (passo a passo prático que dá pra usar na prova):
- Meça
e no ensaio. - Converta para verdadeiro se as deformações forem grandes:
- Separe a parte plástica:
(use obtido da parte linear inicial). - Para ajustar Hollomon, aplique logaritmo:
Faça uma regressão linear em
para obter
e
.
5. Para Ramberg–Osgood, ajuste não-linear ou use obtidos antes e verifique a soma elástica+plástica.
5. Para Ramberg–Osgood, ajuste não-linear ou use
Passo 7
Explicação física, em linguagem simples, do porquê a região plástica não é linear:
- Na região elástica as ligações atômicas se deformam reversivelmente; a relação tensão–deformação é aproximadamente proporcional (Lei de Hooke).
- No regime plástico, a deformação ocorre por movimento irreversível de defeitos cristalinos — principalmente deslizamento de discordâncias (dislocations) e outras mudanças na microestrutura. Isso quer dizer que, para continuar deformando, as discordâncias encontram obstáculos (ou interagem entre si), o que exige tensões crescentes: daí a curvatura da curva.
- Além disso, durante a deformação plástica a geometria muda (estreitamento da seção, redistribuição de tensões) e surgem fenômenos como encruamento (work hardening) e eventualmente estricção (necking). Esses efeitos fazem com que a resposta não seja proporcional, logo não linear.
- Em resumo: a não linearidade é consequência de mecanismos microscopicamente complexos (movimento de discordâncias, interações, formação de subgrãos, alterações de área) que não obedecem a uma relação direta e reversível como na elasticidade.
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (estilo amigo encorajando):
- Se o enunciado pede uma lei simples e rápida, cite Hollomon (
) indicando que e são verdadeiras/plásticas. - Se quiser uma descrição que inclua a fase elástica, use Ramberg–Osgood.
- Sempre explique o significado físico dos parâmetros
e e como se obtêm (log–log para Hollomon). - Não entre em modelagem extremamente complexa (ex.: leis dependentes de histórico, ratcheting, viscoplasticidade) a menos que o enunciado peça.
Resposta
Razão da não linearidade: na plasticidade a deformação é controlada por mecanismos irreversíveis (movimento e interação de discordâncias, encruamento, mudanças geométricas como estricção), que exigem tensões crescentes e tornam a resposta não proporcional (logo, não linear).