Os gráficos das funções reais f(x) = 2x - 2/5 e g(x) = 3x² - c possuem um único ponto em comum. O valor de c é:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas funções: $ f(x) = 2x - \frac{2}{5} $ e $ g(x) = 3x^2 - c $. O enunciado diz que os gráficos dessas funções têm apenas um ponto em comum. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ c $ que faz isso acontecer. Para resolver, vamos usar um pouco de álgebra, especialmente a ideia de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, sabemos que os pontos em comum das duas funções são os valores de $ x $ que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Então, vamos igualar $ f(x) $ e $ g(x) $:
Passo 3
Vamos reorganizar essa equação para deixá-la igual a zero, ficando assim:
Ou seja:
Passo 4
Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para que essa equação tenha apenas uma solução, o discriminante (a parte que está dentro da raiz na fórmula de Bhaskara) deve ser igual a zero. O discriminante é calculado por:
Passo 5
Vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
Agora, substituímos na fórmula do discriminante:
Passo 6
Calculando o discriminante:
Simplificando dentro do parênteses:
Convertendo 4 para quinta parte:
Então:
Passo 7
Para que a equação tenha apenas uma solução, o discriminante deve ser zero:
Resolvendo para $ c $:
Resposta
O valor de $ c $ é $ \frac{1}{15} $.