Os gráficos das funções reais f(x) = 2x - 2/5 e g(x) = 3x² - c possuem um único ponto em comum. O valor de c é:

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas funções: $ f(x) = 2x - \frac{2}{5} $ e $ g(x) = 3x^2 - c $. O enunciado diz que os gráficos dessas funções têm apenas um ponto em comum. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ c $ que faz isso acontecer. Para resolver, vamos usar um pouco de álgebra, especialmente a ideia de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, sabemos que os pontos em comum das duas funções são os valores de $ x $ que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Então, vamos igualar $ f(x) $ e $ g(x) $:
x

Passo 3

Vamos reorganizar essa equação para deixá-la igual a zero, ficando assim:
3x^2 - 2x + ( -c + 25 ) = 0
Ou seja:
3x^2 - 2x + ( 25 - c ) = 0

Passo 4

Essa é uma equação quadrática na forma $ ax^2 + bx + c = 0 $. Para que essa equação tenha apenas uma solução, o discriminante (a parte que está dentro da raiz na fórmula de Bhaskara) deve ser igual a zero. O discriminante é calculado por:
ax^2 + bx + c = 0

Passo 5

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
a = 3, b = -2, c = 25 - c
Agora, substituímos na fórmula do discriminante:
De

Passo 6

Calculando o discriminante:
De
Simplificando dentro do parênteses:
De
Convertendo 4 para quinta parte:
4 = 205
Então:
De

Passo 7

Para que a equação tenha apenas uma solução, o discriminante deve ser zero:
-45 + 12c = 0
Resolvendo para $ c $:
c
12c = 45

Resposta

O valor de $ c $ é $ \frac{1}{15} $.

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