Um grupo de 6 amigos foi assistir um filme no cinema e compraram seus ingressos para uma mesma fileira de cadeira considerando haver um casal em que eles se sentaram em cadeiras vizinhas. De quantas formas esses amigos puderam se ajuntar na fileira de cadeiras?

Passo 1

Beleza, então vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um grupo de 6 amigos que foram assistir a um filme e compraram ingressos para a mesma fileira de cadeiras no cinema. Entre eles, há um casal que quer sentar juntos, ou seja, em cadeiras vizinhas. A questão é: de quantas maneiras esses amigos podem se sentar nessa fileira, respeitando essa condição?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de arranjos e permutação, que são partes da combinatória. Vamos precisar pensar em como tratar o casal e os outros amigos de forma organizada para contar todas as possíveis combinações.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar o casal como se fosse uma única “unidade”. Isso porque eles precisam estar juntos. Então, ao invés de termos 6 pessoas para arrumar, temos:
  • O casal (como uma única unidade)
  • Os outros 4 amigos
Totalizando 5 unidades para arrumar na fileira.

Passo 3

Agora, precisamos calcular de quantas maneiras podemos arranjar essas 5 unidades na fileira. Para isso, usamos a permutação de 5 elementos, que é representada por 5! (lê-se “5 fatorial”).
5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120
Então, há 120 maneiras de arranjar essas 5 unidades.

Passo 4

Mas espera, tem mais! O casal, que está sendo tratado como uma única unidade, na verdade pode trocar de lugar dentro dessa unidade. Ou seja, o primeiro do casal pode sentar à esquerda ou à direita. Isso significa que, para cada arranjo das 5 unidades, existem 2 formas de organizar o casal.
Então, multiplicamos o número de arranjos das unidades pelo número de formas que o casal pode se arranjar dentro da unidade.
120 times 2 = 240

Resposta

Portanto, há 240 maneiras diferentes de os 6 amigos se sentarem na fileira de cadeiras, garantindo que o casal esteja sempre junto.

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