Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Nenhum membro seja matemático?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre formar comissões de 10 pessoas a partir de um grupo de 20, onde 5 são matemáticos. A ideia é descobrir de quantas maneiras podemos formar essa comissão sem que nenhum dos membros seja matemático. Vamos usar o conteúdo de combinações, que é uma parte da probabilidade e estatística, para resolver isso. Precisaremos calcular quantas maneiras existem de escolher 10 pessoas entre as que não são matemáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quantas pessoas não são matemáticos. Temos 20 pessoas no total e 5 são matemáticos. Então, o número de não matemáticos é:
20 - 5 = 15

Passo 3

Agora, queremos formar uma comissão de 10 pessoas só com essas 15 não matemáticos. Para isso, usamos a fórmula de combinação, que nos diz quantas maneiras diferentes podemos escolher C(n, k) = n!k!(n - k)! elementos de um conjunto de elementos sem se importar com a ordem. A fórmula é:
Onde significa o fatorial de , que é o produto de todos os inteiros positivos até .

Passo 4

Aplicando a fórmula com C(15, 10) = 15!10!(15 - 10)! = 15!10!5! e :

Passo 5

Vamos simplificar isso para facilitar o cálculo:
15!10!5! = 15 times 14 times 13 times 12 times 115 times 4 times 3 times 2 times 1 = 3003

Resposta

Existem 3.003 maneiras de formar comissões de 10 pessoas sem incluir nenhum matemático.

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