No grupo \mathbb{Z}_{12}, encontre |a|,|b|,|a+b| para cada caso:
Você vê alguma relação entre |a|,|b| e |a+b| ?
a=5, b=4

Passo 1

O enunciado pede para, no grupo \mathbb{Z}_{12}, encontrar as ordens de a, b e a+b quando a=5 e b=4. Informações dadas e o que precisamos:
  • Grupo: \mathbb{Z}_{12} (grupo aditivo com 12 elementos, isto é, soma módulo 12).
  • Elementos: a=5, b=4.
  • Pedir: |a|, |b|, |a+b| (ordens dos elementos).

Passo 2

Definição e ideia chave (explicação didática): a ordem de um elemento x em um grupo aditivo é o menor inteiro positivo m tal que m\cdot x\equiv 0 (módulo 12, neste caso). Em símbolos:
|x|=\min\{m\in\mathbb{Z}_{>0}\mid m\cdot x\equiv 0\\ (\bmod\\\ 12)\}.
No grupo cíclico \mathbb{Z}_n existe uma fórmula prática: para um elemento representado por k (a classe de k módulo n),
|k|=\frac{n}{\gcd(n,k)}.
Vou explicar por que essa fórmula funciona de forma simples: coloque d=\gcd(n,k). Escreve-se k=d k' e n=d n' com \gcd(k',n')=1. A condição m\cdot k\equiv0\pmod n equivale a n\mid m k, i.e. d n'\mid m d k', que reduz a n'\mid m k'. Como \gcd(k',n')=1, isso acontece exatamente quando n'\mid m. Logo o menor m positivo que funciona é m=n', e n' = n/d = n/\gcd(n,k). Pronto — fórmula demonstrada.

Passo 3

Aplicando a fórmula para a=5:
  • Calcular \gcd(12,5). Como 5 é primo em relação a 12, \gcd(12,5)=1.
  • Então
|a|=\frac{12}{\gcd(12,5)}=\frac{12}{1}=12.
Para sentir na prática: os múltiplos de 5 em \mathbb{Z}_{12} (mod 12) são
5,\,10,\,3,\,8,\,1,\,6,\,11,\,4,\,9,\,2,\,7,\,0,
e o primeiro zero aparece no 12º múltiplo, confirmando |a|=12.

Passo 4

Aplicando a fórmula para b=4:
  • Calcular \gcd(12,4)=4.
  • Então
|b|=\frac{12}{\gcd(12,4)}=\frac{12}{4}=3.
Na prática os múltiplos de 4 (mod 12) são
4,\,8,\,0,
o que mostra que o primeiro zero aparece no terceiro múltiplo, logo |b|=3.

Passo 5

Calcular a+b e sua ordem:
  • Primeiro a+b\equiv 5+4\equiv 9\pmod{12}. Então vamos achar |9|.
  • Calcular \gcd(12,9)=3.
  • Usando a fórmula:
|a+b|=|9|=\frac{12}{\gcd(12,9)}=\frac{12}{3}=4.
Na prática os múltiplos de 9 (mod 12) são
9,\,6,\,3,\,0,
o zero aparece no 4º múltiplo, confirmando |a+b|=4.

Passo 6

Observação sobre relações entre |a|, |b| e |a+b|:
  • Aqui obtivemos |a|=12, |b|=3 e |a+b|=4.
  • Não existe uma relação simples e universal (como |a+b| ser sempre o máximo, mínimo, gcd ou lcm de |a| e |b|). Por exemplo, |a+b| não é igual a \gcd(|a|,|b|) nem a \operatorname{lcm}(|a|,|b|) neste caso ( \gcd(12,3)=3, \operatorname{lcm}(12,3)=12, porém |a+b|=4). A única relação geral é que todas as ordens dividem 12 (a ordem do grupo).
  • Conclusão prática: a ordem da soma pode ser bem diferente das ordens dos somandos; para prever |a+b| é preciso conhecer os representantes concretos (os k mod n), não apenas |a| e |b|.

Resposta

|a|=12
|b|=3
|a+b|=4

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