No grupo
, encontre
para cada caso:
Você vê alguma relação entre
e
?
Passo 1
O enunciado pede para, no grupo
, encontrar as ordens de
,
e
quando
e
. Informações dadas e o que precisamos:
- Grupo:
(grupo aditivo com elementos, isto é, soma módulo ). - Elementos:
, . - Pedir:
, , (ordens dos elementos).
Passo 2
Definição e ideia chave (explicação didática): a ordem de um elemento
em um grupo aditivo é o menor inteiro positivo
tal que
(módulo
, neste caso). Em símbolos:
No grupo cíclico
existe uma fórmula prática: para um elemento representado por
(a classe de
módulo
),
Vou explicar por que essa fórmula funciona de forma simples: coloque
. Escreve-se
e
com
. A condição
equivale a
, i.e.
, que reduz a
. Como
, isso acontece exatamente quando
. Logo o menor
positivo que funciona é
, e
. Pronto — fórmula demonstrada.
Passo 3
Aplicando a fórmula para
:
- Calcular
. Como é primo em relação a , . - Então
Para sentir na prática: os múltiplos de
em
(mod
) são
e o primeiro zero aparece no 12º múltiplo, confirmando
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para
:
- Calcular
. - Então
Na prática os múltiplos de
(mod
) são
o que mostra que o primeiro zero aparece no terceiro múltiplo, logo
.
Passo 5
Calcular
e sua ordem:
- Primeiro
. Então vamos achar . - Calcular
. - Usando a fórmula:
Na prática os múltiplos de
(mod
) são
o zero aparece no 4º múltiplo, confirmando
.
Passo 6
Observação sobre relações entre
,
e
:
- Aqui obtivemos
, e . - Não existe uma relação simples e universal (como
ser sempre o máximo, mínimo, gcd ou lcm de e ). Por exemplo, não é igual a nem a neste caso ( , , porém ). A única relação geral é que todas as ordens dividem (a ordem do grupo). - Conclusão prática: a ordem da soma pode ser bem diferente das ordens dos somandos; para prever
é preciso conhecer os representantes concretos (os mod ), não apenas e .