H. 130 Determinar, em cada caso, a derivada:
,
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
dada por
Dados relevantes: a função é uma soma de uma função identidade
com uma constante
. A pergunta é: qual é a função derivada
(ou o valor da derivada para todo
)?
Passo 2
Vou começar lembrando a definição de derivada (essa é a forma fundamental e que você pode usar na prova se não lembrar regras prontas). A derivada de uma função
em um ponto
é o limite
Aqui:
-
é um pequeno incremento em que tende a zero; -
é o valor da função no ponto ; - a expressão dentro do limite é a razão de variação média de
entre e ; - o limite, se existir, é a taxa de variação instantânea — a derivada.
Passo 3
Agora aplico a definição à função
.
Calculo
:
Calculo a diferença
:
Formo a razão de diferença:
Para
isso simplifica para
Agora tomo o limite quando
:
Portanto, pelo cálculo direto via definição, a derivada existe e vale
para todo
.
Passo 4
Pra você fixar e ter um truque rápido na prova: existem regras que evitam ficar fazendo limites toda hora.
- Regra da derivada da identidade: a função
tem derivada , isto é, . - Regra da derivada de uma constante: uma constante
tem derivada , isto é, . - Regra da linearidade:
.
Aplicando estas regras a
:
- derivada de
é ; - derivada de
é ; - somando:
.
Exemplo extra rápido para treinar: se
então
(derivada de
é
, de
é
). Viu como dá pra fazer na prova rapidinho?
Passo 5
Resumo prático e incentivo: você já sabe usar a definição e também as regras que aceleram tudo. Para funções lineares da forma
, a derivada é sempre
. Respira, faz uns exercícios parecidos e fica mais tranquilo na prova — você consegue!