H. 130 Determinar, em cada caso, a derivada:
f(x)=x+1,

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função f dada por
f(x)=x+1.
Dados relevantes: a função é uma soma de uma função identidade x com uma constante 1. A pergunta é: qual é a função derivada f'(x) (ou o valor da derivada para todo x)?

Passo 2

Vou começar lembrando a definição de derivada (essa é a forma fundamental e que você pode usar na prova se não lembrar regras prontas). A derivada de uma função f em um ponto x é o limite
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • h é um pequeno incremento em x que tende a zero;
  • f(x+h) é o valor da função no ponto x+h;
  • a expressão dentro do limite é a razão de variação média de f entre x e x+h;
  • o limite, se existir, é a taxa de variação instantânea — a derivada.

Passo 3

Agora aplico a definição à função f(x)=x+1.
Calculo f(x+h):
f(x+h) = (x+h) + 1 = x + h + 1.
Calculo a diferença f(x+h)-f(x):
f(x+h)-f(x) = (x + h + 1) - (x + 1) = h.
Formo a razão de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{h}{h}.
Para h\neq 0 isso simplifica para
\frac{h}{h}=1.
Agora tomo o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0} 1 = 1.
Portanto, pelo cálculo direto via definição, a derivada existe e vale 1 para todo x.

Passo 4

Pra você fixar e ter um truque rápido na prova: existem regras que evitam ficar fazendo limites toda hora.
  • Regra da derivada da identidade: a função x tem derivada 1, isto é, \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • Regra da derivada de uma constante: uma constante c tem derivada 0, isto é, \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0.
  • Regra da linearidade: \dfrac{d}{dx}(a\cdot u(x)+b\cdot v(x))=a\,u'(x)+b\,v'(x).
Aplicando estas regras a f(x)=x+1:
  • derivada de x é 1;
  • derivada de 1 é 0;
  • somando: 1+0=1.
Exemplo extra rápido para treinar: se g(x)=3x+5 então g'(x)=3 (derivada de 3x é 3, de 5 é 0). Viu como dá pra fazer na prova rapidinho?

Passo 5

Resumo prático e incentivo: você já sabe usar a definição e também as regras que aceleram tudo. Para funções lineares da forma \alpha x+\beta, a derivada é sempre \alpha. Respira, faz uns exercícios parecidos e fica mais tranquilo na prova — você consegue!

Resposta

f'(x)=1

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