H. 155 Obter a derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para obter a derivada
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Pergunta: calcular a derivada
.
Passo 2
Identificar a estrutura da função: ela é uma composição de uma função “externa”
com uma função “interna”
. Vou explicar a regra que usamos para composições.
Regra da cadeia (explicação didática): se tivermos
onde
é uma função diferenciável em
e
é diferenciável em
, então a derivada de
é
Aqui
significa "derivada de
avaliada no ponto
", e
é a derivada da função interna em relação a
.
Exemplo simples para fixar: se
e
, então
Note que primeiro derivei
com respeito a
(resultado
) e depois multipliquei por
.
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia ao nosso caso: identifique
Precisamos de
e de
.
Derivada de
: a derivada em relação a
é
Explicando: a função seno e cosseno têm derivadas conhecidas; para
a derivada é
.
Passo 4
Agora calcule
onde
.
Usamos a regra do poder e a linearidade da derivada:
- Derivada de
é (pois ). - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Somando:
Passo 5
Combinar tudo pela regra da cadeia:
. Substituindo
e
e
,
Lembrando que
, obtemos
Passo 6
Pequena verificação numérica rápida (opcional, só pra sentir que faz sentido): em
,
o que é coerente com aplicar diretamente a fórmula.