H. 155 Obter a derivada de cada uma das seguintes funções:
F(x)=\cos \left(3 x^{2}+x+5\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\cos\bigl(3x^{2}+x+5\bigr)
e pede para obter a derivada F'(x).
Informações relevantes fornecidas:
\text{função }F(x)=\cos\bigl(3x^{2}+x+5\bigr).çã
Pergunta: calcular a derivada F'(x).

Passo 2

Identificar a estrutura da função: ela é uma composição de uma função “externa” \cos(\cdot) com uma função “interna” u(x)=3x^{2}+x+5. Vou explicar a regra que usamos para composições.
Regra da cadeia (explicação didática): se tivermos
F(x)=g\bigl(u(x)\bigr),
onde g é uma função diferenciável em u e u é diferenciável em x, então a derivada de F é
F'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui g'\bigl(u(x)\bigr) significa "derivada de g avaliada no ponto u(x)", e u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Exemplo simples para fixar: se g(t)=\cos t e u(x)=2x, então
\frac{d}{dx}\cos(2x)= -\sin(2x)\cdot 2.
Note que primeiro derivei \cos t com respeito a t (resultado -\sin t) e depois multipliquei por u'(x)=2.

Passo 3

Aplicar a regra da cadeia ao nosso caso: identifique
g(t)=\cos t \quad\text{e}\quad u(x)=3x^{2}+x+5.
Precisamos de g'(t) e de u'(x).
Derivada de g(t)=\cos t: a derivada em relação a t é
g'(t)=-\sin t.
Explicando: a função seno e cosseno têm derivadas conhecidas; para \cos t a derivada é -\sin t.

Passo 4

Agora calcule u'(x) onde u(x)=3x^{2}+x+5.
Usamos a regra do poder e a linearidade da derivada:
  • Derivada de 3x^{2} é 3\cdot 2x=6x (pois \frac{d}{dx}x^{2}=2x).
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de 5 (constante) é 0.
Somando:
u'(x)=6x+1.

Passo 5

Combinar tudo pela regra da cadeia: F'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x). Substituindo g' e u e u',
F'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot (6x+1).
Lembrando que u(x)=3x^{2}+x+5, obtemos
F'(x)=-(6x+1)\sin\bigl(3x^{2}+x+5\bigr).

Passo 6

Pequena verificação numérica rápida (opcional, só pra sentir que faz sentido): em x=0,
F'(0)=-(6\cdot 0+1)\sin(3\cdot0^{2}+0+5)= -\sin(5),
o que é coerente com aplicar diretamente a fórmula.

Resposta

F'(x)=-(6x+1)\sin\bigl(3x^{2}+x+5\bigr)

Exercícios relacionados