H. 163 Determinar a função derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt{\operatorname{arctg} x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada de
f(x)=\sqrt{\arctan x}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia, pois f é composta de uma função externa h(u)=\sqrt{u} e uma função interna g(x)=\arctan x.

Passo 2

Identificamos
h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2} \quad\text{e}\quad g(x)=\arctan x.
Pela regra da cadeia,
f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x).

Passo 3

Derivada da função externa: como h(u)=u^{1/2}, temos
h'(u)=\tfrac12\,u^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.
Logo,
h'(g(x))=\frac{1}{2\sqrt{g(x)}}=\frac{1}{2\sqrt{\arctan x}}.

Passo 4

Derivada da função interna: para g(x)=\arctan x sabemos que
g'(x)=\frac{1}{1+x^2}.

Passo 5

Substituindo na regra da cadeia,
f'(x) =\frac{1}{2\sqrt{\arctan x}}\;\cdot\;\frac{1}{1+x^2} =\frac{1}{2\,(1+x^2)\,\sqrt{\arctan x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{2\,(1+x^2)\,\sqrt{\arctan x}}.

Exercícios relacionados