Se h \neq 0, calcule o valor do quociente \frac{f(x+h)-f(x)}{h} para as seguintes funções:
(i) f(x)=x^{2}+x, \operatorname{para} x \in \mathbb{R}
(ii) f(x)=3 x+5, para x \in \mathbb{R}
(iii) f(x)=\operatorname{sen}(x), para x \in \mathbb{R}
(iv) f(x)=x^{3}, para x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para cada função dada, supondo h\neq0. Vamos usar manipulações algébricas em polinômios e, no caso da função trigonométrica, a identidade de soma de ângulos.

Passo 2

Para f(x)=x^{2}+x, primeiro calculamos
f(x+h)=(x+h)^{2}+(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+x+h.
Em seguida,
f(x+h)-f(x)=(x^{2}+2xh+h^{2}+x+h)-(x^{2}+x)=2xh+h^{2}+h.
Dividindo por h, obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h+1.

Passo 3

Para f(x)=3x+5, temos
f(x+h)=3(x+h)+5=3x+3h+5,
logo
f(x+h)-f(x)=(3x+3h+5)-(3x+5)=3h.
Dividindo por h, resulta
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3.

Passo 4

Para f(x)=\sin(x), usamos a identidade
\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h.
Então
f(x+h)-f(x)=(\sin x\cos h+\cos x\sin h)-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h.
Logo, o quociente é
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\sin x\,\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\,\frac{\sin h}{h}.

Passo 5

Para f(x)=x^{3}, primeiro
f(x+h)=(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3},
então
f(x+h)-f(x)=(x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3})-x^{3} =3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}.
Dividindo por h, obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}.

Resposta

(i) \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h+1
(ii) \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3
(iii) \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\sin x\,\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\,\frac{\sin h}{h}
(iv) \displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3xh+h^{2}

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