Há três diferentes formas de se determinar a intersecção entre dois planos. Exemplifique-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente exemplificar três jeitos diferentes de encontrar a interseção entre dois planos. Isso está no campo da geometria analítica, onde lidamos com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar planos com equações e como resolver sistemas de equações lineares. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeira maneira: Resolver o sistema de equações das duas planos.
Imagina que temos dois planos com as seguintes equações:
2x + y - z = 3 x - 2y + 3z = -1
Para encontrar a interseção, resolvemos esse sistema. Vamos usar o método da substituição. Começamos isolando uma variável em uma das equações. Por exemplo, na primeira equação, podemos isolar o y = 3 - 2x + z :
x - 2(3 - 2x + z) + 3z = -1
Agora, substituímos isso na segunda equação:
x - 6 + 4x - 2z + 3z = -1 5x + z = 5
Resolvendo:
z = 5 - 5x
Agora, podemos expressar y = 3 - 2x + (5 - 5x) = 8 - 7x z = 5 - 5x em função de :
Assim, a interseção é uma reta definida por:

Passo 3

Segunda maneira: Usar vetores normais e produto vetorial.
Cada plano tem um vetor normal. Suponha que os planos têm os seguintes vetores normais:
n1 = lang<= 2, 1, -1 rang<= e n2 = lang<= 1, -2, 3 rang<=
A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial desses vetores:
d = n1 times n2 = i & j & k 2 & 1 & -1 1 & -2 & 3 = (1 cdot 3 - (-1) cdot (-2))i - (2 cdot 3 - (-1) cdot 1)j + (2 cdot (-2) - 1 cdot 1)k = (3 - 2)i - (6 + 1)j + (-4 -1)k = lang<= 1, -7, -5 rang<=
Agora, escolhemos um ponto que esteja nos dois planos. Por exemplo, colocando 2(0) + y - z = 3 Rightarrow y - z = 3 na primeira equação:
0 - 2y + 3z = -1 Rightarrow -2y + 3z = -1
E na segunda equação:
-2(z + 3) + 3z = -1 -2z -6 + 3z = -1 z = 5
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, x = 0 + 1t y = 8 - 7t z = 5 - 5t . Substituindo na segunda:
Então, e . O ponto é .
Assim, a reta de interseção é:

Passo 4

Terceira maneira: Usar parametrização direta.
Vamos parametrizar uma das variáveis, digamos 2x + y - t = 3 x - 2y + 3t = -1 , e encontrar 2x + y = 3 + t Rightarrow y = 3 + t - 2x e x - 2(3 + t - 2x) + 3t = -1 x - 6 - 2t + 4x + 3t = -1 5x + t = 5 Rightarrow x = 5 - t5 em termos de y = 3 + t - 2(5 - t5) = 3 + t - 10 - 2t5 = 15 + 5t -10 + 2t5 = 5 + 7t5 .
Voltando ao sistema original:
x = 5 - t5 y = 5 + 7t5 z = t
Resolvendo o sistema para e :
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Então, a interseção é a reta parametrizada por:

Resposta

Encontramos três maneiras diferentes de determinar a interseção entre dois planos:
  1. Resolvendo o sistema de equações das duas planos e encontrando a parametrização da reta de interseção.
  2. Utilizando vetores normais e produto vetorial para encontrar a direção da reta e um ponto específico na interseção.
  3. Parametrizando diretamente uma das variáveis e resolvendo o sistema para as demais variáveis em termos do parâmetro escolhido.
Cada método leva à mesma reta de interseção, apenas abordando de formas diferentes!

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