Há três diferentes formas de se determinar a intersecção entre dois planos. Exemplifique-as.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente exemplificar três jeitos diferentes de encontrar a interseção entre dois planos. Isso está no campo da geometria analítica, onde lidamos com equações de planos. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar planos com equações e como resolver sistemas de equações lineares. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeira maneira: Resolver o sistema de equações das duas planos.
Imagina que temos dois planos com as seguintes equações:
Para encontrar a interseção, resolvemos esse sistema. Vamos usar o método da substituição. Começamos isolando uma variável em uma das equações. Por exemplo, na primeira equação, podemos isolar o :
Agora, substituímos isso na segunda equação:
Resolvendo:
Agora, podemos expressar em função de :
Assim, a interseção é uma reta definida por:
Passo 3
Segunda maneira: Usar vetores normais e produto vetorial.
Cada plano tem um vetor normal. Suponha que os planos têm os seguintes vetores normais:
A direção da reta de interseção é dada pelo produto vetorial desses vetores:
Agora, escolhemos um ponto que esteja nos dois planos. Por exemplo, colocando 2(0) + y - z = 3 Rightarrow y - z = 3 na primeira equação:
0 - 2y + 3z = -1 Rightarrow -2y + 3z = -1
E na segunda equação:
-2(z + 3) + 3z = -1 -2z -6 + 3z = -1 z = 5
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, x = 0 + 1t y = 8 - 7t z = 5 - 5t . Substituindo na segunda:
Então, e . O ponto é .
Assim, a reta de interseção é:
Passo 4
Terceira maneira: Usar parametrização direta.
Vamos parametrizar uma das variáveis, digamos 2x + y - t = 3 x - 2y + 3t = -1 , e encontrar 2x + y = 3 + t Rightarrow y = 3 + t - 2x e x - 2(3 + t - 2x) + 3t = -1 x - 6 - 2t + 4x + 3t = -1 5x + t = 5 Rightarrow x = 5 - t5 em termos de y = 3 + t - 2(5 - t5) = 3 + t - 10 - 2t5 = 15 + 5t -10 + 2t5 = 5 + 7t5 .
Voltando ao sistema original:
x = 5 - t5 y = 5 + 7t5 z = t
Resolvendo o sistema para e :
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Então, a interseção é a reta parametrizada por:
Resposta
Encontramos três maneiras diferentes de determinar a interseção entre dois planos:
Resolvendo o sistema de equações das duas planos e encontrando a parametrização da reta de interseção.
Utilizando vetores normais e produto vetorial para encontrar a direção da reta e um ponto específico na interseção.
Parametrizando diretamente uma das variáveis e resolvendo o sistema para as demais variáveis em termos do parâmetro escolhido.
Cada método leva à mesma reta de interseção, apenas abordando de formas diferentes!