Haja vista que as principais Medidas de Centro é denotado pela Média e pela Mediana, explane propriedades importantes de cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede que eu explique propriedades importantes da Média e da Mediana.\n
Informações dadas (implícitas): temos duas medidas de tendência central — a média e a mediana — e preciso listar e explicar propriedades que as caracterizam, mostrando como calcular e como se comportam em situações típicas (por ex.: presença de outliers, transformações lineares, interpretação).

Passo 2

Definição e cálculo da Média (amostral).\n
Seja uma amostra de n observações \{x_1,x_2,\dots,x_n\}. A média amostral, denotada por \bar{x}, é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Explicando lentamente: somo todos os valores \left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right) e divido pelo número de observações n. Cada símbolo significa: \(x_i) é o i-ésimo dado; n é quantos dados tenho; o \sum é a soma de todos os x_i. Na prova, basta executar essa soma e dividir.

Passo 3

Propriedades algébricas básicas da Média (com demonstração curta).\n
  1. Linearidade em adição de constante: para qualquer constante c,
\overline{x+c}=\bar{x}+c.
Demonstração passo a passo:
\overline{x+c}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+c)=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i + \sum_{i=1}^n c\right)=\frac{1}{n}\left(\sum_{i=1}^n x_i + nc\right)=\bar{x}+c.
  1. Homogeneidade (multiplicação por constante): para qualquer constante a,
\overline{a x}=a\,\bar{x}.
Demonstração:
\overline{a x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a x_i)=\frac{a}{n}\sum_{i=1}^n x_i=a\bar{x}.
Essas propriedades aparecem muito em prova: se fizer x_i\mapsto a x_i+c, então \overline{a x + c}=a\bar{x}+c.

Passo 4

Sensibilidade da Média a outliers — exemplo numérico detalhado (faça igual na prova).\n
Considere os dados \{1,2,3,100\}. Calculemos a média:
\bar{x}=\frac{1+2+3+100}{4}=\frac{106}{4}=26{,}5.
Agora altere o outlier de 100 para 1000: dados \{1,2,3,1000\},
\bar{x}=\frac{1+2+3+1000}{4}=\frac{1006}{4}=251{,}5.
Observação clara: um único valor extremo fez a média pular muito (de 26{,}5 para 251{,}5). Conclusão: a média é sensível a valores extremos; um outlier pode alterar muito o valor da média.

Passo 5

Definição e cálculo da Mediana (procedimento passo a passo).\n
Primeiro ordeno os dados em ordem crescente. Se n for ímpar, a mediana é o valor central. Se n for par, a convenção comum é tomar a média dos dois valores centrais.\n
Formalmente: ordene \{x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}\}.\n
  • Se n ímpar, \operatorname{mediana}=x_{(\frac{n+1}{2})}.\n
  • Se n par, \operatorname{mediana}=\dfrac{x_{(\frac{n}{2})}+x_{(\frac{n}{2}+1)}}{2}.\n
    Exemplo com \{1,2,3,100\} (já ordenado): n=4 (par), então mediana é
\operatorname{mediana}=\frac{x_{(2)}+x_{(3)}}{2}=\frac{2+3}{2}=2{,}5.
Se trocarmos 100 por 1000, a ordenação continua \{1,2,3,1000\} e a mediana permanece 2{,}5. Isso ilustra robustez.

Passo 6

Propriedades da Mediana (com explicações intuitivas e matemáticas simples).\n
  1. Invariância por translação: para qualquer constante c,
\operatorname{mediana}(x+c)=\operatorname{mediana}(x)+c.
Porque ao somar c a todos os dados, a ordem relativa não muda; o elemento do meio soma c.\n
2) Escalonamento por fator positivo: para a>0,
\operatorname{mediana}(a x)=a\,\operatorname{mediana}(x).
Porque multiplicar por a>0 preserva a ordem dos dados. Para a<0 a ordem inverte, então deve-se ter cuidado: a relação direta exige tratar reversão de ordem.\n
3) Robustez a outliers: a mediana muda pouco quando poucos valores extremos mudam. Uma forma de quantificar isso (intuição): a mediana tem quebra (breakdown) de até 50\% — isto é, é preciso corromper mais da metade dos dados para fazer a mediana assumir valores arbitrários. A média tem quebra de 0\%: um único outlier pode deslocá-la muito.\n
4) Propriedade de minimização (intuitiva e útil em provas): a mediana minimiza a soma das distâncias absolutas. Seja S(m)=\sum_{i=1}^n |x_i-m|. Então qualquer minimizador m^* de S(m) é uma mediana. Intuição/prova rápida: S(m) é uma função em degraus cuja derivada (à esquerda/direita) é número de pontos à esquerda menos número à direita; o equilíbrio ocorre quando pelo menos metade dos pontos está de cada lado — isso é exatamente o que a mediana garante.\n
Comparação: enquanto a mediana minimiza \sum |x_i-m|, a média minimiza \sum (x_i-m)^2 (mostramos isso no próximo passo).

Passo 7

Propriedade de minimização da Média (demonstração curta e útil para a prova).\n
Considere Q(m)=\sum_{i=1}^n (x_i-m)^2. Desenvolvendo e derivando em relação a m:
Q(m)=\sum_{i=1}^n (x_i^2 - 2x_i m + m^2)=\sum_{i=1}^n x_i^2 -2m\sum_{i=1}^n x_i + n m^2.
Derivando Q(m) em m e igualando a zero:
Q'(m)=-2\sum_{i=1}^n x_i + 2 n m = 0 \quad\Rightarrow\quad m=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i=\bar{x}.
Conclusão: a média \bar{x} é o minimizador da soma dos quadrados dos desvios. Isso explica porque a média aparece naturalmente em modelos que penalizam erro quadrático (por ex., regressão linear pelo método dos mínimos quadrados).

Passo 8

Comparações práticas e recomendações para prova (quando usar cada uma, dicas rápidas).\n
  • Use a média quando os dados forem aproximadamente simétricos e não houver outliers importantes; a média é ótima (eficiente) para distribuições normais e possui boas propriedades de inferência.\n
  • Use a mediana quando houver outliers, dados fortemente assimétricos ou quando os dados forem ordinais (classe ordenada sem intervalos homogêneos). A mediana representa melhor o “centro” em distribuições inclinadas ou com valores extremos.\n
    Dica prática para a prova: se pedem “medida de tendência central representativa” e o enunciado menciona outliers ou assimetria, responda mediana e justifique pela robustez; se o enunciado fala de distribuição normal, variância, ou pede cálculo algebraico com soma, a média é esperada.

Passo 9

Resumo de diferenças quantitativas importantes (para memorização rápida antes da prova).\n
  • Sensibilidade a outliers: Média — alta; Mediana — baixa.\n
  • Operações lineares: Média — linear para qualquer escala/adição; Mediana — invariante por adição e por multiplicação por a>0.\n
  • Interpretação de minimização: Média minimiza \sum (x_i-m)^2; Mediana minimiza \sum |x_i-m|.\n
  • Quebra (breakdown): Média ~ 0\%; Mediana ~ 50\%.\n
    Guarde essas quatro linhas na cabeça — elas caem fácil em questão de interpretação.

Resposta

Média: \bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i. Propriedades principais — linearidade \overline{a x + c}=a\bar{x}+c; minimiza \sum (x_i-m)^2 (portanto é ótima para erro quadrático); sensível a outliers (um valor extremo pode deslocá-la muito); eficiência para distribuições normais.\n
Mediana: ordenar os dados e tomar o valor central (se n ímpar) ou a média dos dois centrais (se n par). Propriedades principais — invariante por translação \operatorname{med}(x+c)=\operatorname{med}(x)+c e escala para a>0; robusta a outliers (breakdown ~ 50\%); minimiza \sum |x_i-m|; indicada para dados assimétricos ou ordinais.

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