Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos estacionários da função
e depois classificar esses pontos. Isso entra no assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualá-las a zero e analisar o comportamento da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos estacionários, igualamos essas derivadas a zero.
Para
:
Como
nunca é zero, isso implica que:
Passo 4
Com
, vamos substituir na derivada
:
Isso confirma que, para qualquer valor de
, quando
, as derivadas são zero. Então, todos os pontos onde
são pontos estacionários.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos. Para isso, precisamos analisar as segundas derivadas e usar o Teste da Derivada Segunda.
Calculando as segundas derivadas:
No ponto
:
O determinante da matriz Hessiana é:
Quando
, o teste da derivada segunda é inconclusivo. Mas vamos analisar a função:
Como
é sempre não negativo e
é sempre positivo,
para todos os
. E
quando
.
Resposta
Todos os pontos onde
são pontos estacionários e representam mínimos globais da função
.