Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x^2 * e^(x * y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os pontos estacionários da função e depois classificar esses pontos. Isso entra no assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente em derivadas parciais e análise de pontos críticos. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualá-las a zero e analisar o comportamento da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos estacionários, igualamos essas derivadas a zero.
Para :
Como nunca é zero, isso implica que:

Passo 4

Com , vamos substituir na derivada :
Isso confirma que, para qualquer valor de , quando , as derivadas são zero. Então, todos os pontos onde são pontos estacionários.

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos. Para isso, precisamos analisar as segundas derivadas e usar o Teste da Derivada Segunda.
Calculando as segundas derivadas:
No ponto :
O determinante da matriz Hessiana é:
Quando , o teste da derivada segunda é inconclusivo. Mas vamos analisar a função:
Como é sempre não negativo e é sempre positivo, para todos os . E quando .

Resposta

Todos os pontos onde são pontos estacionários e representam mínimos globais da função .

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