Hallar los puntos estacionarios de las sguientes funciones y clasificarlos: f(x, y) = x^3 - y^2 - 3x^2 - 2y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os pontos estacionários da função e classificá-los. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente o estudo de derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos estacionários, que são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Vamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo a segunda equação para :

Passo 5

Para encontrar , resolvemos a primeira equação:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Portanto, os pontos críticos são:

Passo 7

Agora, vamos classificar esses pontos utilizando a segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:

Passo 8

Calculamos o discriminante para cada ponto:
Para :
Como e , o ponto é um máximo local.
Para :
Como , o ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos estacionários da função são , que é um máximo local, e , que é um ponto de sela.

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