A haste O A oscila em torno de O em um plano horizontal. O movimento do colar B de 2 kg é definido pelas relações r=3 /(t+4) \mathrm{e} \theta=(2 / \pi) sen \pi t, onde r é expresso em metros, t em segundos e \theta em radianos. Determine as componentes radial e transversal da força exercida sobre o colar quando t=1 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as componentes radial e transversal da força exercida sobre o colar no instante t=1\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
m=2\\ \mathrm{kg}
r(t)=\frac{3}{t+4}\\ \text{(metros)}
\theta(t)=\frac{2}{\pi}\sin(\pi t)\\ \text{(radianos)}
Pediram as componentes da força nas direções radial ( e_r, positiva para fora) e transversal/tangencial ( e_\theta, na direção de \theta crescente) no instante t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos montar a teoria necessária — passo a passo e sem pular etapas — para que você entenda como obter as componentes da força.
  1. Velocidade em coordenadas polares: se a posição é r(t)\,e_r, a velocidade é
\mathbf{v} = \dot r\,e_r + r\dot\theta\,e_\theta.
Aqui \dot r é a derivada de r em relação ao tempo (velocidade radial) e \dot\theta é a velocidade angular.
  1. Derivada dos vetores unitários (explique por que aparecem termos com \dot\theta):
\frac{d}{dt}e_r=\dot\theta\,e_\theta,\qquad \frac{d}{dt}e_\theta=-\dot\theta\,e_r.
Isto vem do fato de que e_r e e_\theta giram quando \theta muda; a taxa de variação angular é \dot\theta.
  1. Aceleração em coordenadas polares: derivando a velocidade e usando as derivadas dos vetores unitários obtemos, com contas diretas,
\mathbf{a}=(\ddot r - r\dot\theta^{2})\,e_r + (r\ddot\theta + 2\dot r\,\dot\theta)\,e_\theta.
Explicação física dos termos:
  • \ddot r é a aceleração radial direta (variação da velocidade radial).
  • -r\dot\theta^{2} é a aceleração centrípeta (dirigida para o centro quando \dot\theta\neq0).
  • r\ddot\theta é a aceleração tangencial devido à variação da velocidade angular.
  • 2\dot r\,\dot\theta é uma contribuição tangencial que aparece quando há simultaneamente variação de r e rotação (às vezes chamada termo de Coriolis em problemas de partículas).
  1. Força resultante: pela segunda lei de Newton,
\mathbf{F}=m\mathbf{a},
portanto as componentes pedidas são
F_r=m(\ddot r - r\dot\theta^{2}),\qquad F_\theta=m(r\ddot\theta + 2\dot r\,\dot\theta).

Passo 3

Agora calculemos as derivadas necessárias a partir das funções fornecidas.
  1. Para r(t)=\dfrac{3}{t+4}=3(t+4)^{-1}:
\dot r(t)=-3(t+4)^{-2},
\ddot r(t)=6(t+4)^{-3}.
  1. Para \theta(t)=\dfrac{2}{\pi}\sin(\pi t):
\dot\theta(t)=\frac{2}{\pi}\cdot\pi\cos(\pi t)=2\cos(\pi t),
\ddot\theta(t)=2\cdot(-\pi)\sin(\pi t)=-2\pi\sin(\pi t).
  1. Avaliando em t=1:
t+4=5,
r(1)=\frac{3}{5}= \,0,6\\ \mathrm{m},
\dot r(1)=-3\cdot 5^{-2}=-\frac{3}{25}=-0,12\\ \mathrm{m/s},
\ddot r(1)=6\cdot 5^{-3}=\frac{6}{125}=0,048\\ \mathrm{m/s^{2}},
\dot\theta(1)=2\cos(\pi) = 2\cdot(-1)=-2\\ \mathrm{rad/s},
\ddot\theta(1)=-2\pi\sin(\pi)= -2\pi\cdot 0 = 0\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 4

Calcule as componentes da aceleração usando a fórmula:
a_r=\ddot r - r\dot\theta^{2},\qquad a_\theta=r\ddot\theta + 2\dot r\,\dot\theta.
Substituindo os valores em t=1:
  1. Componente radial:
a_r(1)=0,048 - 0,6\cdot(-2)^{2}=0,048 - 0,6\cdot 4=0,048-2,4=-2,352\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  1. Componente transversal:
a_\theta(1)=0,6\cdot 0 + 2\cdot(-0,12)\cdot(-2)=0 + 2\cdot(-0,12)\cdot(-2)=0,48\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Multiplicando pelas massas para obter as componentes da força:
F_r=m a_r = 2\cdot(-2,352)=-4,704\\ \mathrm{N},
F_\theta=m a_\theta = 2\cdot 0,48=0,96\\ \mathrm{N}.
Interpretação rápida: F_r negativo indica que a força radial está dirigida para o centro O (ou seja, para dentro). F_\theta positivo está no sentido de \theta crescente.

Resposta

\;F_r=-4,704\\ \mathrm{N}
\;F_\theta=0,96\\ \mathrm{N}

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