*12.72 O cursor
pesa 230 g e pode mover-se na fenda aberta no braço
, que gira a uma taxa constante
no plano horizontal. O cursor é preso a uma mola de constante
, que não está deformada quando
. Sabendo que o cursor é liberado em repouso com velocidade radial nula na posição
, e desprezando o atrito, determine para a posição
as componentes radial e transversal da velocidade do cursor, (b) as componentes radial e transversal de sua aceleração, (c) a força horizontal exercida no cursor pelo braço
.
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades listadas:
- Massa do cursor:
. - Constante da mola:
. - A mola não está deformada quando
(isto é, sua força é ). - O braço gira com velocidade angular constante
. Logo tem derivada constante e . - O cursor é liberado em repouso (isto é, com velocidade radial nula) na posição inicial
. Portanto e . - Quer-se, quando o cursor estiver em
:
(a) as componentes radial e transversal (tangencial) da velocidade;
(b) as componentes radial e transversal da aceleração;
(c) a força horizontal exercida pelo braçosobre o cursor.
Observação importante: o cursor pode deslizar radialmente no braço, mas é forçado a girar com ele (ou seja,
constante). Desprezamos atrito e forças fora do plano horizontal.
Passo 2
Vamos escrever as fórmulas de cinemática em coordenadas polares (bem importantinhas e fáceis de usar aqui):
- Velocidade em componentes radial e transversal:
Explicação:
é a velocidade ao longo da linha radial (positivo para fora), e
é a componente tangencial (transversal), dada por
vezes a velocidade angular.
- Aceleração em componentes radial e transversal:
Como aqui
é constante, temos
, portanto
Explicação: o termo
em
é a aceleração centrípeta (apontando para o centro) e o termo
em
é a aceleração de Coriolis (relacionada à mudança radial enquanto gira).
Passo 3
Agora escrevemos a equação dinâmica radial (segunda lei de Newton na direção radial). As forças no plano horizontal, na direção radial, são a força elástica da mola
(apontando para o centro) e não há atrito. A equação é:
Rearranjando,
Note que isso é uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficiente constante. Como vamos ver, para os valores numéricos a combinação
é negativa, transformando-a numa equação harmônica simples.
Passo 4
Calculemos os parâmetros numéricos:
-
. -
. - Logo
.
Conveniente definir
portanto
.
A equação radial fica então
cuja solução geral é harmônica. Com as condições iniciais
e
, a solução particular é
Passo 5
Precisamos encontrar
quando
. Usamos a expressão de
:
Com
, obtemos
Notar que não precisamos do tempo explicitamente em segundos; basta conhecer
dado que
Derivando
:
Substituindo os valores:
Interpretação: o sinal negativo indica que
está diminuindo (o cursor está indo em direção ao centro) no instante considerado.
Passo 6
Agora usamos as fórmulas da Passo 2 para obter as componentes da velocidade no instante
.
- Componente radial:
- Componente transversal (tangencial), lembrando
:
Passo 7
Agora calculamos as componentes da aceleração.
Primeiro
. Podemos usar a equação harmônica:
Agora a componente radial da aceleração:
(Aceleração radial negativa: aponta para o centro.)
Componente transversal da aceleração (lembre
):
(O sinal negativo indica direção oposta à direção positiva de
.)
Passo 8
Finalmente, determinamos a força horizontal exercida pelo braço
sobre o cursor.
Análise das forças horizontais:
- A mola fornece somente força radial
. - A única força tangencial (transversal) que age sobre o cursor é a força de contato do braço na direção
— é ela que impõe a componente rotacional do movimento (já que o cursor é obrigado a girar com o braço). Assim, a força do braço na direção é dada por
Substituindo valores:
O sinal negativo indica que a força está no sentido negativo de
(oposta ao sentido positivo de
), ou seja, o braço exerce uma força tangencial que tende a reduzir a velocidade tangencial do cursor enquanto ele se move radialmente para dentro.
Quanto à componente radial da força do braço: como o slot do braço é radial (o cursor desliza dentro da fenda), não existe força radial adicional do braço (a mola provê a força radial). Portanto
Resposta
(a)
,
(b) ,
(c) ,
(b)
(c)