*12.72 O cursor C pesa 230 g e pode mover-se na fenda aberta no braço A B, que gira a uma taxa constante \dot{\theta}_{0}=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s} no plano horizontal. O cursor é preso a uma mola de constante k=36 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, que não está deformada quando r=0. Sabendo que o cursor é liberado em repouso com velocidade radial nula na posição r=450 \mathrm{~mm}, e desprezando o atrito, determine para a posição r=300 \mathrm{~mm}(a) as componentes radial e transversal da velocidade do cursor, (b) as componentes radial e transversal de sua aceleração, (c) a força horizontal exercida no cursor pelo braço A B.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede as quantidades listadas:
  • Massa do cursor: m=230\\ \mathrm{g}=0,230\\ \mathrm{kg}.
  • Constante da mola: k=36\\ \mathrm{N/m}.
  • A mola não está deformada quando r=0 (isto é, sua força é -kr).
  • O braço gira com velocidade angular constante \dot{\theta}_0=10\\ \mathrm{rad/s}. Logo \theta(t) tem derivada \dot{\theta}(t)=\omega=10\\ \mathrm{rad/s} constante e \ddot\theta=0.
  • O cursor é liberado em repouso (isto é, com velocidade radial nula) na posição inicial r_0=450\\ \mathrm{mm}=0,450\\ \mathrm{m}. Portanto \dot r(0)=0 e r(0)=0,450\\ \mathrm{m}.
  • Quer-se, quando o cursor estiver em r=300\\ \mathrm{mm}=0,300\\ \mathrm{m}:
    (a) as componentes radial e transversal (tangencial) da velocidade;
    (b) as componentes radial e transversal da aceleração;
    (c) a força horizontal exercida pelo braço AB sobre o cursor.
Observação importante: o cursor pode deslizar radialmente no braço, mas é forçado a girar com ele (ou seja, \dot\theta=\omega constante). Desprezamos atrito e forças fora do plano horizontal.

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas de cinemática em coordenadas polares (bem importantinhas e fáceis de usar aqui):
  • Velocidade em componentes radial e transversal:
\text{(i)}\quad v_r=\dot r,\qquad \text{(ii)}\quad v_\theta = r\dot\theta.
Explicação: v_r é a velocidade ao longo da linha radial (positivo para fora), e v_\theta é a componente tangencial (transversal), dada por r vezes a velocidade angular.
  • Aceleração em componentes radial e transversal:
\text{(iii)}\quad a_r=\ddot r - r\dot\theta^{2},\qquad \text{(iv)}\quad a_\theta = r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta.
Como aqui \dot\theta=\omega é constante, temos \ddot\theta=0, portanto
a_\theta = 2\dot r\,\omega.
Explicação: o termo -r\dot\theta^2 em a_r é a aceleração centrípeta (apontando para o centro) e o termo 2\dot r\dot\theta em a_\theta é a aceleração de Coriolis (relacionada à mudança radial enquanto gira).

Passo 3

Agora escrevemos a equação dinâmica radial (segunda lei de Newton na direção radial). As forças no plano horizontal, na direção radial, são a força elástica da mola -kr (apontando para o centro) e não há atrito. A equação é:
m\bigl(\ddot r - r\omega^{2}\bigr) = -k r.
Rearranjando,
m\ddot r = m r\omega^{2} - k r \quad\Rightarrow\quad \ddot r = \bigl(\omega^{2} - \tfrac{k}{m}\bigr) r.
Note que isso é uma equação diferencial linear homogênea de 2ª ordem com coeficiente constante. Como vamos ver, para os valores numéricos a combinação \omega^{2}-k/m é negativa, transformando-a numa equação harmônica simples.

Passo 4

Calculemos os parâmetros numéricos:
  • \displaystyle \frac{k}{m}=\frac{36}{0,230}=156{,}521739\\ \mathrm{s^{-2}}.
  • \omega^{2}=(10)^{2}=100\\ \mathrm{s^{-2}}.
  • Logo \omega^{2}-\tfrac{k}{m}=100-156{,}521739=-56{,}521739\\ \mathrm{s^{-2}}.
Conveniente definir
\omega_r^{2}=\frac{k}{m}-\omega^{2}=56{,}521739\\ \mathrm{s^{-2}},
portanto \omega_r=\sqrt{56{,}521739}\approx 7{,}5181\\ \mathrm{s^{-1}}.
A equação radial fica então
\ddot r + \omega_r^{2} r = 0,
cuja solução geral é harmônica. Com as condições iniciais r(0)=r_0=0,450\\ \mathrm{m} e \dot r(0)=0, a solução particular é
r(t)=r_0\cos(\omega_r t).

Passo 5

Precisamos encontrar \dot r quando r=0,300\\ \mathrm{m}. Usamos a expressão de r(t):
\frac{r}{r_0}=\cos(\omega_r t).
Com r/r_0=0{,}300/0{,}450=2/3, obtemos
\cos(\omega_r t)=\tfrac{2}{3}\quad\Rightarrow\quad \omega_r t=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).
Notar que não precisamos do tempo explicitamente em segundos; basta conhecer \sin(\omega_r t) dado que
\sin(\omega_r t)=\sqrt{1-\cos^{2}(\omega_r t)}=\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}}=\sqrt{\tfrac{5}{9}}=\tfrac{\sqrt{5}}{3}\approx 0{,}745356.
Derivando r(t):
\dot r(t) = -r_0\omega_r\sin(\omega_r t).
Substituindo os valores:
\dot r = -0{,}450\cdot 7{,}5181\cdot 0{,}745356 \approx -2{,}5216\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: o sinal negativo indica que r está diminuindo (o cursor está indo em direção ao centro) no instante considerado.

Passo 6

Agora usamos as fórmulas da Passo 2 para obter as componentes da velocidade no instante r=0,300\\ \mathrm{m}.
  • Componente radial:
v_r=\dot r\approx -2{,}5216\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente transversal (tangencial), lembrando \omega=10\\ \mathrm{rad/s}:
v_\theta = r\omega = 0{,}300\cdot 10 = 3{,}000\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Agora calculamos as componentes da aceleração.
Primeiro \ddot r. Podemos usar a equação harmônica:
\ddot r = -\omega_r^{2} r = -56{,}521739\cdot 0{,}300 \approx -16{,}9565\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Agora a componente radial da aceleração:
a_r = \ddot r - r\omega^{2} = -16{,}9565 - 0{,}300\cdot 100 = -16{,}9565 - 30 = -46{,}9565\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(Aceleração radial negativa: aponta para o centro.)
Componente transversal da aceleração (lembre \ddot\theta=0):
a_\theta = 2\dot r\,\omega = 2\cdot(-2{,}5216)\cdot 10 \approx -50{,}432\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(O sinal negativo indica direção oposta à direção positiva de \theta.)

Passo 8

Finalmente, determinamos a força horizontal exercida pelo braço AB sobre o cursor.
Análise das forças horizontais:
  • A mola fornece somente força radial -kr.
  • A única força tangencial (transversal) que age sobre o cursor é a força de contato do braço na direção \hat\theta — é ela que impõe a componente rotacional do movimento (já que o cursor é obrigado a girar com o braço). Assim, a força do braço na direção \theta é dada por
F_{\theta,\text{braço}} = m a_\theta = m\cdot 2\dot r\,\omega.ç
Substituindo valores:
F_{\theta,\text{braço}} = 0{,}230\cdot(-50{,}432)\approx -11{,}5996\\ \mathrm{N}\approx -11{,}60\\ \mathrm{N}.ç
O sinal negativo indica que a força está no sentido negativo de \hat\theta (oposta ao sentido positivo de \theta), ou seja, o braço exerce uma força tangencial que tende a reduzir a velocidade tangencial do cursor enquanto ele se move radialmente para dentro.
Quanto à componente radial da força do braço: como o slot do braço é radial (o cursor desliza dentro da fenda), não existe força radial adicional do braço (a mola provê a força radial). Portanto
F_{r,\text{braço}} = 0\\ \mathrm{N}.ç

Resposta

(a) v_r = -2{,}522\\ \mathrm{m/s}, v_\theta = 3{,}000\\ \mathrm{m/s}
(b) a_r = -46{,}957\\ \mathrm{m/s^{2}}, a_\theta = -50{,}432\\ \mathrm{m/s^{2}}
(c) F_{r,\text{braço}} = 0\\ \mathrm{N}ç, F_{\theta,\text{braço}} \approx -11{,}60\\ \mathrm{N}ç

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