Se \hat{Y}[n] for um estimador linear ótimo de Y[n] quando observamos X[n] então pelo princípio da ortogonalidade
◯ a. E Y[n] Y[k]=E \hat{Y}[n] X[k].
◯ b. E Y[n] X[k]=E \hat{Y}[n] X[k]=0.
◯ c. E X[n] X[k]=E \hat{Y}[n] X[k].
◯ d. E Y[n] Y[k]=E \hat{Y}[n] Y[k].
◯ e. E Y[n] X[k]=E \hat{Y}[n] X[k].

Passo 1

O enunciado dá que \hat{Y}[n] é um estimador linear ótimo de Y[n] quando observamos X[n] e pede, pelo princípio da ortogonalidade, qual das alternativas a.–e. é verdadeira. As alternativas são:
  • a. E\;Y[n]\,Y[k]=E\;\hat{Y}[n]\,X[k].
  • b. E\;Y[n]\,X[k]=E\;\hat{Y}[n]\,X[k]=0.
  • c. E\;X[n]\,X[k]=E\;\hat{Y}[n]\,X[k].
  • d. E\;Y[n]\,Y[k]=E\;\hat{Y}[n]\,Y[k].
  • e. E\;Y[n]\,X[k]=E\;\hat{Y}[n]\,X[k].
Informações relevantes dadas: estimador é linear ótimo (MMSE linear), e o enunciado explicitamente pede uso do princípio da ortogonalidade.

Passo 2

Defino o erro de estimação e explico o princípio da ortogonalidade de forma simples e concreta.
  • Definição do erro: e[n]=Y[n]-\hat{Y}[n]. Isso é o que sobra quando subtrai-se a estimativa do valor real.
  • O que significa ortogonalidade aqui: vetores (ou variáveis aleatórias) A e B serem ortogonais significa E[A\,B]=0. No contexto de estimadores lineares ótimos, o princípio diz que o erro e[n] é ortogonal a todas as funções lineares das observações; em particular, é ortogonal a cada X[k].
Portanto, pelo princípio da ortogonalidade vale, para todo índice k,
E\big[(Y[n]-\hat{Y}[n])\,X[k]\big]=0.

Passo 3

Faço a manipulação algébrica direta dessa igualdade para obter uma relação entre os termos esperados que aparecem nas alternativas.
Expando a esperança:
E\big[(Y[n]-\hat{Y}[n])\,X[k]\big] =E\big[Y[n]\,X[k]\big]-E\big[\hat{Y}[n]\,X[k]\big].
Como essa diferença é zero (pela ortogonalidade), concluo:
E\big[Y[n]\,X[k]\big]-E\big[\hat{Y}[n]\,X[k]\big]=0 \quad\Longrightarrow\quad E\big[Y[n]\,X[k]\big]=E\big[\hat{Y}[n]\,X[k]\big].

Passo 4

Interpreto o resultado em termos das alternativas: a igualdade que acabei de obter é exatamente a alternativa e. Logo a alternativa correta é a letra e.

Passo 5

Para fixar a ideia com um exemplo simples e mostrar por que as outras alternativas são falsas:
Considere o caso clássico Y[n]=X[n]+N[n] com N[n] ruído com média zero e não correlacionado com X[\cdot]. Um estimador linear ótimo simples é \hat{Y}[n]=X[n]. Então
E\big[Y[n]\,X[k]\big]=E\big[(X[n]+N[n])X[k]\big]=E[X[n]X[k]]+E[N[n]X[k]].
Como N e X são não correlacionados, E[N[n]X[k]]=0, então E[Y[n]X[k]]=E[X[n]X[k]]. Para \hat{Y}[n]=X[n] temos E[\hat{Y}[n]X[k]]=E[X[n]X[k]]. Assim E[Y[n]X[k]]=E[\hat{Y}[n]X[k]] (ou seja, alternativa e verdadeira neste exemplo). Note que em geral esses termos não são necessariamente zero, o que mostra que a alternativa b está errada (ela afirma que ambos são zero). As demais alternativas (a, c, d) relacionam quantidades diferentes (por exemplo E[Y Y] ou E[XX]) e não decorrem do princípio da ortogonalidade.

Resposta

e. E\;Y[n]\,X[k]=E\;\hat{Y}[n]\,X[k]

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