Se
for um estimador linear ótimo de
quando observamos
então pelo princípio da ortogonalidade
◯ a.
.
◯ b.
.
◯ c.
.
◯ d.
.
◯ e.
.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá que
é um estimador linear ótimo de
quando observamos
e pede, pelo princípio da ortogonalidade, qual das alternativas a.–e. é verdadeira. As alternativas são:
- a.
. - b.
. - c.
. - d.
. - e.
.
Informações relevantes dadas: estimador é linear ótimo (MMSE linear), e o enunciado explicitamente pede uso do princípio da ortogonalidade.
Passo 2
Defino o erro de estimação e explico o princípio da ortogonalidade de forma simples e concreta.
- Definição do erro:
. Isso é o que sobra quando subtrai-se a estimativa do valor real. - O que significa ortogonalidade aqui: vetores (ou variáveis aleatórias)
e serem ortogonais significa . No contexto de estimadores lineares ótimos, o princípio diz que o erro é ortogonal a todas as funções lineares das observações; em particular, é ortogonal a cada .
Portanto, pelo princípio da ortogonalidade vale, para todo índice
,
Passo 3
Faço a manipulação algébrica direta dessa igualdade para obter uma relação entre os termos esperados que aparecem nas alternativas.
Expando a esperança:
Como essa diferença é zero (pela ortogonalidade), concluo:
Passo 4
Interpreto o resultado em termos das alternativas: a igualdade que acabei de obter é exatamente a alternativa e. Logo a alternativa correta é a letra e.
Passo 5
Para fixar a ideia com um exemplo simples e mostrar por que as outras alternativas são falsas:
Considere o caso clássico
com
ruído com média zero e não correlacionado com
. Um estimador linear ótimo simples é
. Então
Como
e
são não correlacionados,
, então
. Para
temos
. Assim
(ou seja, alternativa e verdadeira neste exemplo). Note que em geral esses termos não são necessariamente zero, o que mostra que a alternativa b está errada (ela afirma que ambos são zero). As demais alternativas (a, c, d) relacionam quantidades diferentes (por exemplo
ou
) e não decorrem do princípio da ortogonalidade.
Resposta
e.