Além disso, a partícula está em estado estacionário descrito pela função de onda
para
e por
em outros pontos. (a) Determine a energia da partícula em função de
,
e
. (b) Determine a constante de normalização
. © Determine a probabilidade de que a partícula esteja localizada entre
e
. Resposta: a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você enviou está trabalhando com a mecânica quântica, especificamente com funções de onda em estados estacionários. A gente vai precisar entender conceitos como energia de partículas, normalização da função de onda e probabilidade de localização da partícula. A partir disso, vamos resolver os itens (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a energia da partícula em um estado estacionário. Na mecânica quântica, a energia total
de uma partícula pode ser encontrada resolvendo a Equação de Schrödinger Dependente do Tempo. Para estados estacionários, a função de onda tem uma forma específica que nos permite encontrar essa energia.
Passo 3
Dada a função de onda:
definida para
, e
fora desse intervalo. Queremos encontrar a energia
em termos de
,
e
.
A energia esperada para um estado estacionário pode ser calculada usando a relação:
onde
é o operador Hamiltoniano, que para uma partícula livre é dado por:
Passo 4
No seu caso, a função potencial
é dada por:
Para encontrar
, precisamos calcular as integrais envolvidas na expressão de energia esperada. No entanto, observando a estrutura de
, podemos simplificar os cálculos assumindo que a contribuição principal vem do termo cinético.
Passo 5
Calculando a derivada segunda da função de onda:
Substituindo na expressão do operador cinético:
Passo 6
Considerando que a energia
é constante para estados estacionários, temos:
Substituindo os termos, obtemos:
Para simplificar, podemos comparar os termos constantes e resolver para
.
Passo 7
Após simplificações, encontramos que a energia
depende apenas de
,
e
, conforme solicitado. A expressão final para a energia é:
Passo 8
Agora que resolvemos o item (a), vamos para o item (b), que pede a constante de normalização
. A normalização garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no espaço é igual a 1.
Passo 9
A condição de normalização é:
Substituindo
, temos:
Passo 10
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 11
Finalmente, para o item ©, queremos encontrar a probabilidade
de que a partícula esteja entre
e
.
Passo 12
A probabilidade é dada por:
Substituindo
e
:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)