Para a hélice circular , determine: as equações do plano normal e do plano osculador da hélice no ponto [1]
Para uma curva dada e um ponto , o plano determinado pelos vetores e é chamado de plano osculador de em . O plano determinado pelos vetores normal e binormal num ponto sobre uma curva é chamado plano normal de em . ↩︎
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre uma hélice circular, que é uma curva no espaço. A hélice é dada pela função . A pergunta pede para encontrar as equações do plano normal e do plano osculador dessa hélice no ponto específico . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como vetores tangente, normal e binormal, além de entender como determinar equações de planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar para qual valor de a hélice passa pelo ponto . Olhando a função , queremos que:
Sabemos que e , então é o valor que corresponde ao ponto .
Passo 3
Agora, vamos calcular os vetores tangente , normal e binormal naquele ponto. Primeiro, derivamos a função para achar o vetor velocidade :
No ponto :
Esse é o vetor tangente, mas precisamos normalizá-lo para obter :
Então:
Passo 4
Em seguida, encontramos o vetor derivada segunda para calcular o vetor normal . Derivando :
No ponto :
Agora, para , normalizamos :
Então:
Passo 5
O vetor binormal é o produto cruzado entre e :
Calculando:
Passo 6
Agora que temos T, N e B, podemos encontrar as equações dos planos. O plano osculador é determinado por T e N, enquanto o plano normal é determinado por N e B.
Para encontrar a equação de um plano, usamos a forma vetorial:
n cdot (r - r0) = 0
onde n é o vetor normal ao plano, r é o vetor posição geral no plano, e r0 é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (no nosso caso, p).
Passo 7
Primeiro, o plano osculador. Como ele é determinado por T e N, o vetor normal ao plano é o produto cruzado entre T e N:
nosculador = T times N = B
Então, a equação do plano osculador é:
B cdot (r - p) = 0
Substituindo B e p:
(1raiz2, 0, 1raiz2) cdot (x, y, z - pi2) = 0
Simplificando:
1raiz2x + 1raiz2(z - pi2) = 0 Rightarrow x + z = pi2
Passo 8
Agora, o plano normal. Ele é determinado por N e B, então o vetor normal ao plano é o produto cruzado entre N e B:
nnormal = N times B
Calculando:
N times B = |ccc i & j & k 0 & -1 & 0 1raiz2 & 0 & 1raiz2 | = (-1raiz2, 0, 1raiz2)