Para a hélice circular sigma(t)=(cos t, sen t, t), determine: as equações do plano normal e do plano osculador ^1 da hélice no ponto p=(0,1, pi / 2)
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  1. ^1 Para uma curva C dada e um ponto P in C, o plano determinado pelos vetores T e N é chamado de plano osculador de C em P. O plano determinado pelos vetores normal N e binormal B num ponto P sobre uma curva C é chamado plano normal de C em P. ↩︎

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre uma hélice circular, que é uma curva no espaço. A hélice é dada pela função . A pergunta pede para encontrar as equações do plano normal e do plano osculador dessa hélice no ponto específico sigma(t) = (cos t, sen t, t). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como vetores tangente, normal e binormal, além de entender como determinar equações de planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar para qual valor de t a hélice passa pelo ponto p = (0, 1, pi/2). Olhando a função , queremos que:
Sabemos que sigma(t) = (cos t, sen t, t) e , então cos t = 0, sen t = 1, t = pi2 é o valor que corresponde ao ponto cos(pi2) = 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular os vetores tangente T, normal N e binormal B naquele ponto. Primeiro, derivamos a função sigma(t) para achar o vetor velocidade sigma'(t):
No ponto sigma'(t) = (-sen t, cos t, 1) :
t = pi2
Esse é o vetor tangente, mas precisamos normalizá-lo para obter sigma'(pi2) = (-1, 0, 1) :
T
Então:
|sigma'(pi2)| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2

Passo 4

Em seguida, encontramos o vetor derivada segunda sigma''(t) para calcular o vetor normal N. Derivando sigma'(t):
No ponto sigma''(t) = (-cos t, -sen t, 0) :
t = pi2
Agora, para sigma''(pi2) = (0, -1, 0) , normalizamos N:
sigma''
Então:
|sigma''(pi2)| = 1

Passo 5

O vetor binormal B é o produto cruzado entre T e N:
B = T times N
Calculando:
B = |ccc i & j & k -1raiz2 & 0 & 1raiz2 0 & -1 & 0 | = (1raiz2, 0, 1raiz2)

Passo 6

Agora que temos T, N e B, podemos encontrar as equações dos planos. O plano osculador é determinado por T e N, enquanto o plano normal é determinado por N e B.
Para encontrar a equação de um plano, usamos a forma vetorial:
n cdot (r - r0) = 0
onde n é o vetor normal ao plano, r é o vetor posição geral no plano, e r0 é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (no nosso caso, p).

Passo 7

Primeiro, o plano osculador. Como ele é determinado por T e N, o vetor normal ao plano é o produto cruzado entre T e N:
nosculador = T times N = B
Então, a equação do plano osculador é:
B cdot (r - p) = 0
Substituindo B e p:
(1raiz2, 0, 1raiz2) cdot (x, y, z - pi2) = 0
Simplificando:
1raiz2x + 1raiz2(z - pi2) = 0 Rightarrow x + z = pi2

Passo 8

Agora, o plano normal. Ele é determinado por N e B, então o vetor normal ao plano é o produto cruzado entre N e B:
nnormal = N times B
Calculando:
N times B = |ccc i & j & k 0 & -1 & 0 1raiz2 & 0 & 1raiz2 | = (-1raiz2, 0, 1raiz2)
Então, a equação do plano normal é:
nnormal cdot (r - p) = 0
Substituindo:
-1raiz2(x) + 1raiz2(z - pi2) = 0 Rightarrow -x + z = pi2

Resposta

As equações dos planos no ponto p = (0,1,pi/2) são:
  • Plano Osculador: x + z = dfracpi2
  • Plano Normal: -x + z = dfracpi2

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