Um helicóptero levanta verticalmente um astronauta de 72 kg até 15 m de altura em cima do oceano com o auxílio de um cabo. A aceleração do astronauta é \mathrm{g} / 10. Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo helicóptero e (b) pelo seu próprio peso? Quais são (c) a energia cinética e (d) a velocidade do astronauta no momento em que chega ao helicóptero?

Passo 1

O enunciado diz que um helicóptero ergue verticalmente um astronauta de massa m = 72\:\mathrm{kg} até a altura h = 15\:\mathrm{m}, com aceleração constante a = \tfrac{g}{10}. Precisamos calcular:
– (a) o trabalho realizado pela força do helicóptero;
– (b) o trabalho realizado pela força peso;
– (c) a energia cinética final do astronauta;
– (d) a velocidade ao chegar em h.
Para isso vamos usar:
  1. A segunda lei de Newton, \sum F = m\,a, para achar a tração no cabo.
  2. A definição de trabalho de uma força constante, W = F\,d\cos\theta.
  3. O teorema trabalho–energia, W_{\rm total} = \Delta K.

Passo 2

Aplicando a segunda lei no eixo vertical (positivo para cima), temos
T - m\,g = m\,a,
onde T é a tração do cabo. Logo,
T = m\,(g + a).

Passo 3

O trabalho da força do helicóptero (tração) ao elevar o astronauta de 0 até h é
W_{\rm hélice} = T \,h = m\,(g + a)\,h.é
Substituindo m=72\:\mathrm{kg}, g=9{,}8\:\mathrm{m/s^2}, a=0{,}98\:\mathrm{m/s^2} e h=15\:\mathrm{m}:
W_{\rm hélice} = 72\,(9{,}8 + 0{,}98)\times 15 = 72\times 10{,}78\times 15 \approx 1{,}16\times10^{4}\:\mathrm{J}.é

Passo 4

O trabalho da força peso, que aponta para baixo, sobre o deslocamento vertical para cima é
W_{\rm peso} = (-m\,g)\,h = -m\,g\,h.
Numericamente,
W_{\rm peso} = -72\times 9{,}8\times 15 = -10 584\:\mathrm{J} \approx -1{,}06\times10^{4}\:\mathrm{J}.

Passo 5

Pelo teorema trabalho–energia, o trabalho total é igual à variação da energia cinética:
W_{\rm total} = W_{\rm hélice} + W_{\rm peso} = \Delta K = K_{\rm f} - K_{\rm i}.é
Como o astronauta parte do repouso, K_{\rm i}=0, temos
K_{\rm f} = W_{\rm hélice} + W_{\rm peso} = m\,(g + a)\,h - m\,g\,h = m\,a\,h.é

Passo 6

Logo, a energia cinética final é
K_{\rm f} = m\,a\,h = 72\times 0{,}98\times 15 = 1 058{,}4\:\mathrm{J} \approx 1{,}06\times10^{3}\:\mathrm{J}.

Passo 7

Para achar a velocidade final, usamos
K_{\rm f} = \tfrac12\,m\,v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,K_{\rm f}}{m}} = \sqrt{2\,a\,h} = \sqrt{2\times 0{,}98\times 15} \approx 5{,}42\:\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) W_{\rm hélice}\approx 1,16\times10^{4}\:\mathrm{J}.é
(b) W_{\rm peso}\approx -1,06\times10^{4}\:\mathrm{J}.
(c) K_{\rm f}\approx 1,06\times10^{3}\:\mathrm{J}.
(d) v\approx 5,42\:\mathrm{m/s}.

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