O hélio contido num cilindro com êmbolo expande-se lentamente de acordo com a relação
cte. O volume inicial de hélio é 85 L , a pressão inicial é 4,8 bar e a temperatura inicial é 280 K . Após a expansão, a pressão final é 1,3bar. Calcular o trabalho realizado e o calor transferido durante a expansão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um cilindro com hélio que está se expandindo lentamente. A relação da expansão é dada por $ pV^{1,5} = constante $. Os dados que temos são:
- Volume inicial ($ V_i $) = 85 L
- Pressão inicial ($ p_i $) = 4,8 bar
- Temperatura inicial ($ T_i $) = 280 K
- Pressão final ($ p_f $) = 1,3 bar
Queremos calcular o trabalho realizado e o calor transferido durante essa expansão. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre processos poliatérmicos e a primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o tipo de processo que está ocorrendo. A relação $ pV^{1,5} = constante $ indica que estamos lidando com um processo poliatérmico, onde a pressão e o volume mudam de acordo com essa relação específica.
Passo 3
Vamos encontrar o volume final ($ V_f $) após a expansão. Sabemos que $ p_i V_i^{1,5} = p_f V_f^{1,5} $. Vamos reorganizar essa equação para resolver $ V_f $:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando essa expressão:
Então,
Portanto, o volume final é aproximadamente 191,25 litros.
Passo 5
Agora, vamos calcular o trabalho realizado durante a expansão. Para um processo poliatérmico, o trabalho $ W $ é dado por:
Onde $ n $ é o índice poliatérmico, que neste caso é 1,5.
Substituindo os valores:
Passo 6
Calculando as multiplicações:
Substituindo de volta:
Para converter bar·L para Joules, usamos a relação $ 1 bar·L = 100 J $:
Passo 7
Agora, vamos usar a primeira lei da termodinâmica, que é:
Onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna, $ Q $ é o calor transferido e $ W $ é o trabalho realizado.
Para um gás ideal, a variação da energia interna depende apenas da temperatura. Mas como a temperatura não foi especificada no estado final, vamos assumir que podemos isolar $ Q $:
No entanto, sem mais informações sobre a temperatura final ou o tipo de gás, não podemos calcular $ \Delta U $ diretamente. Para completar a resposta, precisamos assumir que o processo é adiabático ou isotérmico, mas como não foi especificado, vamos prosseguir considerando que a variação da energia interna é zero (processo isoterma aproximado):
Resposta
O trabalho realizado durante a expansão é de aproximadamente 31.875 J e o calor transferido é de 31.875 J.