Highly purified tetrachlorosilane ( \mathrm{SiCl}_{4} ) gas is reacted with hydrogen gas ( \mathrm{H}_{2} ) to produce electronic-grade polycrystalline silicon at 800^{\circ} \mathrm{C} and 1.5 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} according to the equction:
\mathrm{SiCl}_{4}(\mathrm{~g})+2 \mathrm{H}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{Si}(\mathrm{~s})+4 \mathrm{HCl}(\mathrm{~g})
There are concerns that the reaction experiences diffusional limitations at the growing Si solid surface. The Lennard-Jones parameters for \mathrm{SiCl}_{4} (species A) are \varepsilon_{A} / \kappa=358 \mathrm{~K}, \sigma_{A}=5.08 \AA
Estimate the molecular diffusion coefficient for \mathrm{SiCl}_{4} in a gas phase mixture containing 40 \mathrm{~mol} % \mathrm{SiCl}_{4}, 40 \mathrm{~mol} % \mathrm{H}_{2}, and 20 \mathrm{~mol} % \mathrm{HCl}.

Passo 1

O enunciado pede: estimar o coeficiente de difusão molecular do \mathrm{SiCl}_{4} (espécie A) numa mistura gasosa contendo 40\% molar de \mathrm{SiCl}_{4}, 40\% molar de \mathrm{H}_{2} e 20\% molar de \mathrm{HCl}, nas condições \;T=800^\circ\mathrm{C}=1073\\ \mathrm{K} e p=1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
Dados fornecidos (extraídos do enunciado):
\varepsilon_A/k = 358\\ \mathrm{K}, \sigma_A = 5{,}08\\ \text{\AA}.
Informações necessárias que não foram dadas explicitamente (vou usar valores típicos de literatura para \mathrm{H}_2 e \mathrm{HCl}, e explico isso no passo seguinte): massas molares e parâmetros Lennard‑Jones de \mathrm{H}_2 e \mathrm{HCl}.
O que teremos que calcular: coeficientes binários D_{A-\mathrm{H}_2} e D_{A-\mathrm{HCl}} e, a partir deles, o coeficiente eficaz de difusão da espécie A na mistura multicomponente D_{A,m}.

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem calcular ainda).
  • Para obter D_{A,m} em mistura multicomponente usamos a fórmula prática (válida para gases ideais e difusão molecular):
D_{A,m}=\frac{1-y_A}{\displaystyle\sum_{j\neq A}\frac{y_j}{D_{Aj}}},
onde y_i são frações molares do gás ( y_A=0{,}40, y_{\mathrm{H}_2}=0{,}40, y_{\mathrm{HCl}}=0{,}20). Vou usar essa expressão (é a forma usual empregada em problemas de engenharia de transporte).
  • Cada D_{Aj} (difusão binária) será estimado pelo método de Chapman–Enskog. A forma empírica prática que usarei (frequentemente usada em engenharia) é:
D_{Aj}\;(\text{cm}^2/\text{s})=\frac{0{,}001858\,T^{3/2}}{p\;(\text{atm})\;\sigma_{Aj}^2\;\Omega_D}\sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_j}},
onde T em K, p em atm, \sigma_{Aj} em \text{\AA}, M em g/mol, e \Omega_D é a integral de colisão (função adimensional de T^*=T/(\varepsilon_{Aj}/k)). Vou explicar as fórmulas e cada termo nos próximos passos e calcular numérico.

Passo 3

Parâmetros físicos e valores adotados (explico por que escolhi):
  • Massa molar \mathrm{SiCl}_4 (espécie A): \;M_A=28{,}085+4\times 35{,}45\approx 169{,}9\\ \mathrm{g/mol}.
  • Vou usar parâmetros Lennard‑Jones típicos da literatura para as outras espécies:
    • \mathrm{H}_2: \varepsilon_{\mathrm{H}_2}/k=59{,}7\\ \mathrm{K}, \sigma_{\mathrm{H}_2}=2{,}827\\ \text{\AA}, M_{\mathrm{H}_2}=2{,}016\\ \mathrm{g/mol}.
    • \mathrm{HCl}: \varepsilon_{\mathrm{HCl}}/k=361\\ \mathrm{K}, \sigma_{\mathrm{HCl}}=3{,}26\\ \text{\AA}, M_{\mathrm{HCl}}=36{,}46\\ \mathrm{g/mol}.
      Obs.: esses valores são típicos em tabelas de parâmetros LJ; como o enunciado não os deu, escolhi valores de referência — essa escolha é habitual em estimativas.
  • Converto a pressão para atm:
p(\text{atm})=\frac{1{,}5\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}}{1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa/atm}}\approx 1{,}480\\ \text{atm}.
  • Temperatura: \;T=1073\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Mistura de parâmetros LJ e integral de colisão. Regras de mistura (média de Lorentz–Berthelot):
\sigma_{Aj}=\frac{\sigma_A+\sigma_j}{2},\qquad \varepsilon_{Aj}/k=\sqrt{\left(\varepsilon_A/k\right)\left(\varepsilon_j/k\right)}.
A integral de colisão \Omega_D é função de T^*=T/(\varepsilon_{Aj}/k). Vou usar a correlação de Hirschfelder et al. para \Omega_D(T^*):
\Omega_D = \frac{1{,}06036}{T^{*\,0{,}15610}} + \frac{0{,}19300}{\exp(0{,}47635\,T^*)} + \frac{1{,}03587}{\exp(1{,}52996\,T^*)} + \frac{1{,}76474}{\exp(3{,}89411\,T^*)}.
Essa expressão dá boa precisão prática. Vou calcular \varepsilon_{Aj}/k, T^* e \Omega_D para os dois pares A- \mathrm{H}_2 e A- \mathrm{HCl}.

Passo 5

Cálculo de \varepsilon_{Aj}/k, T^* e \Omega_D para A- \mathrm{H}_2:
\varepsilon_{A-\mathrm{H}_2}/k=\sqrt{358\times 59{,}7}=146{,}24\\ \mathrm{K}.
T^*=\frac{T}{\varepsilon_{A-\mathrm{H}_2}/k}=\frac{1073}{146{,}24}\approx 7{,}334.
Agora aplico a correlação para \Omega_D:
Calculemos os termos (faço passo a passo):
T^{*\,0{,}15610}\approx 7{,}334^{0{,}15610}\approx 1{,}364,
\frac{1{,}06036}{T^{*\,0{,}15610}}\approx 0{,}7774,
os demais termos exponenciais são muito pequenos para T^*=7{,}334, computando-se explicitamente obtemos
\Omega_D(A-\mathrm{H}_2)\approx 0{,}783.

Passo 6

Cálculo de \varepsilon_{Aj}/k, T^* e \Omega_D para A- \mathrm{HCl}:
\varepsilon_{A-\mathrm{HCl}}/k=\sqrt{358\times 361}=359{,}5\\ \mathrm{K},
T^*=\frac{1073}{359{,}5}\approx 2{,}985.
Aplicando a correlação e somando os termos (mostrando as contribuições principais) obtemos
\Omega_D(A-\mathrm{HCl})\approx 0{,}952.

Passo 7

Cálculo de \sigma_{Aj} (método Lorentz) e preparação para Chapman–Enskog:
\sigma_{A-\mathrm{H}_2}=\frac{5{,}08+2{,}827}{2}=3{,}9535\\ \text{\AA},\qquad \sigma_{A-\mathrm{HCl}}=\frac{5{,}08+3{,}26}{2}=4{,}17\\ \text{\AA}.
Agora calculamos D_{Aj} usando a fórmula prática:
D_{Aj}\;(\text{cm}^2/\text{s})=\frac{0{,}001858\,T^{3/2}}{p(\text{atm})\;\sigma_{Aj}^2\;\Omega_D}\sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_j}}.
Calcule T^{3/2}: \;T^{3/2}=1073^{3/2}\approx 3{,}5168\times10^{4}.

Passo 8

Cálculo numérico de D_{A-\mathrm{H}_2}:
  • \sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_{\mathrm{H}_2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{169{,}9}+\dfrac{1}{2{,}016}}\approx 0{,}7078.
  • \sigma_{A-\mathrm{H}_2}^2=(3{,}9535)^2\approx 15{,}63\\ \text{\AA}^2.
  • Substituindo na fórmula (com p=1{,}480\\ \text{atm} e \Omega_D\approx 0{,}783):
D_{A-\mathrm{H}_2}\approx\frac{0{,}001858\times 3{,}5168\times10^{4}}{1{,}480\times 15{,}63\times 0{,}783}\times 0{,}7078 \approx 2{,}55\\ \text{cm}^2/\text{s}.
Convertendo para SI: \;D_{A-\mathrm{H}_2}\approx 2{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 9

Cálculo numérico de D_{A-\mathrm{HCl}}:
  • \sqrt{\dfrac{1}{M_A}+\dfrac{1}{M_{\mathrm{HCl}}}}=\sqrt{\dfrac{1}{169{,}9}+\dfrac{1}{36{,}46}}\approx 0{,}1826.
  • \sigma_{A-\mathrm{HCl}}^2=(4{,}17)^2\approx 17{,}39\\ \text{\AA}^2.
  • Substituindo ( \Omega_D\approx 0{,}952):
D_{A-\mathrm{HCl}}\approx\frac{0{,}001858\times 3{,}5168\times10^{4}}{1{,}480\times 17{,}39\times 0{,}952}\times 0{,}1826 \approx 0{,}487\\ \text{cm}^2/\text{s}.
Convertendo para SI: \;D_{A-\mathrm{HCl}}\approx 4{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 10

Cálculo do coeficiente eficaz de difusão D_{A,m} na mistura usando
D_{A,m}=\frac{1-y_A}{\displaystyle\sum_{j\neq A}\frac{y_j}{D_{Aj}}}.
Com y_A=0{,}40,\;y_{\mathrm{H}_2}=0{,}40,\;y_{\mathrm{HCl}}=0{,}20 e usando D_{A-\mathrm{H}_2}=2{,}55\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, D_{A-\mathrm{HCl}}=4{,}87\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}:
\sum_{j\neq A}\frac{y_j}{D_{Aj}}=\frac{0{,}40}{2{,}55\times10^{-4}}+\frac{0{,}20}{4{,}87\times10^{-5}} \approx 1568{,}6+4108{,}2\approx 5676{,}8\\ (\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}).
Então
D_{A,m}=\frac{0{,}60}{5676{,}8}\approx 1{,}057\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Em unidades usuais de transporte de massa: \;D_{A,m}\approx 1{,}06\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, que corresponde a \approx 1{,}06\\ \text{cm}^2/\text{s} (pois 1\\ \text{cm}^2/\text{s}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).

Resposta

D_{A,m}\approx 1{,}06\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (aprox. 1{,}06\\ \text{cm}^2/\text{s}).