Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 4 pessoas, com pelo menos 2 homens, podem ser formadas?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o enunciado. Temos 5 homens e 4 mulheres, totalizando 9 pessoas. Queremos formar comissões de 4 pessoas, mas com a condição de que haja pelo menos 2 homens na comissão. Vamos usar o conteúdo de combinações para resolver isso, que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos selecionar grupos quando a ordem não importa.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nos diferentes jeitos de ter pelo menos 2 homens na comissão de 4 pessoas. Isso pode acontecer de três maneiras:
  1. 2 homens e 2 mulheres
  2. 3 homens e 1 mulher
  3. 4 homens e 0 mulheres
Vamos calcular cada uma dessas possibilidades separadamente.

Passo 3

1. Comissão com 2 homens e 2 mulheres:
Para escolher 2 homens dentre os 5 disponíveis, usamos a combinação:
binom52 = 5!2!(5-2)! = 10
Para escolher 2 mulheres dentre as 4 disponíveis:
binom42 = 4!2!(4-2)! = 6
Multiplicando os dois resultados para obter o total de comissões dessa forma:
10 times 6 = 60
2. Comissão com 3 homens e 1 mulher:
Escolhendo 3 homens:
binom53 = 5!3!(5-3)! = 10
Escolhendo 1 mulher:
binom41 = 4!1!(4-1)! = 4
Total de comissões:
10 times 4 = 40
3. Comissão com 4 homens e 0 mulheres:
Escolhendo 4 homens:
binom54 = 5!4!(5-4)! = 5
Como não há mulheres, não precisamos escolher nenhuma.
Total de comissões:
5 times 1 = 5

Passo 4

Agora, somamos todas as possibilidades para encontrar o total de comissões que atendem à condição de ter pelo menos 2 homens:
60 (2H, 2M) + 40 (3H, 1M) + 5 (4H, 0M) = 105

Resposta

105 comissões diferentes podem ser formadas com pelo menos 2 homens.

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