i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função 
  e precisa fazer três coisas: desenhar o gráfico aplicando transformações, descobrir o domínio e a imagem além dos interceptos nos eixos, e analisar o comportamento da função. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais, transformações de gráfico, e propriedades de domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função. A função padrão que vamos usar é 
 , que é uma exponencial crescente que passa pelo ponto (0,1) e tem uma assíntota horizontal em 
 .
Agora, vamos aplicar as transformações na nossa função 
 :
- 
Translação horizontal:
significa que o gráfico da função foi movido 3 unidades para a direita. Isso acontece porque a expressão dentro do expoente, , desloca a função na direção positiva do eixo x.  - 
Translação vertical: Subtrair 1, ou seja,
, move todo o gráfico 1 unidade para baixo no eixo y.  
Então, começando com 
 , movemos 3 unidades para a direita e depois 1 unidade para baixo. O gráfico vai continuar sendo uma curva exponencial crescente, mas ajustado conforme essas transformações.
Passo 3
Agora, vamos determinar o domínio, a imagem e os interceptos.
- 
Domínio: O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para a função exponencial , o domínio é todo o conjunto dos números reais, ou seja, .  - 
Imagem: A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Como
é sempre positivo e, ao subtrairmos 1, a função vai ter valores maiores que . Então, a imagem é .  - 
Intercepto no eixo y: Para encontrar o intercepto no eixo y, calculamos
: Então, o intercepto no eixo y é.  - 
Intercepto no eixo x: Para encontrar o intercepto no eixo x, resolvemos
: Então, o intercepto no eixo x é.  
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função:
- 
Quando
vai para : Isso significa que à medida queaumenta sem limite, também cresce sem limite.  - 
Quando
vai para : Então, conformediminui cada vez mais, se aproxima de , mas nunca chega exatamente a . Isso confirma que é uma assíntota horizontal da função.  
Resposta
Resumindo:
- 
Gráfico: A função
é uma exponencial crescente que foi deslocada 3 unidades à direita e 1 unidade para baixo em relação ao gráfico padrão de .  - 
Domínio e Imagem:
- Domínio: 
(todos os números reais).  - Imagem: 
.  
 - Domínio: 
 - 
Interceptos:
- Intercepto no eixo y: 
.  - Intercepto no eixo x: 
.  
 - Intercepto no eixo y: 
 - 
Comportamento:
- Conforme 
vai para , tende a .  - Conforme 
vai para , se aproxima de (assíntota horizontal).  
 - Conforme