I. Se M_{2 \times 2} é uma matriz com entradas reais, então existe um autovetor de M em \mathbb{R}^{2}.
II. Se os únicos autovalores de A: \mathbb{R}^{6} \rightarrow \mathbb{R}^{6} são 0,2 e 5 , então \operatorname{dim} \operatorname{Imagem}(A)=6.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se M_{2 \times 2} é uma matriz com entradas reais, então existe um autovetor de M em \mathbb{R}^{2}.
II. Se os únicos autovalores de A: \mathbb{R}^{6} \rightarrow \mathbb{R}^{6} são 0,2 e 5 , então $\operatorname{dim} \operatorname{Imagem}(A)=6.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Enunciado I: “Se M_{2\times2} é uma matriz com entradas reais, então existe um autovetor de M em \mathbb{R}^{2}.”
  • Enunciado II: “Se os únicos autovalores de A:\mathbb{R}^{6}\to\mathbb{R}^{6} são 0,2 e 5, então \dim \operatorname{Imagem}(A)=6.”
O que se pede: determinar a veracidade de cada afirmação e, portanto, escolher a alternativa correta entre (A)–(D).

Passo 2

Explicar o conceito usado para analisar I: definição de autvalor e autovetor e a observação-chave que nem toda matriz real tem autvetores reais.
  • Definição rápida e clara: um vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^{n} é autovetor de uma matriz M se existir \lambda\in\mathbb{C} tal que
M v = \lambda v.
O número \lambda é chamado autovalor (pode ser real ou complexo). Para que exista autovetor em \mathbb{R}^{n} com autovalor real, o autovalor tem de ser real.
  • Observação importante: uma matriz real pode ter autovalores complexos não reais — nesse caso não existem autovetores em \mathbb{R}^{n} correspondentes a esses autovalores.
Vou usar um exemplo concreto que mostra que I é falsa.

Passo 3

Contraexemplo para I (matriz de rotação de 90^\circ): considere
M=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Calcular o polinômio característico:
\det(M-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & -1\\[4pt] 1 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^{2}+1.
As raízes são \lambda=\pm i, que não são números reais. Como não existem autovalores reais, não existem autovetores não-nulos em \mathbb{R}^{2}. Logo, existe pelo menos uma matriz real 2\times2 que não possui autovetor em \mathbb{R}^{2}. Portanto a afirmação I é falsa.
Comentário didático rápido: em provas, sempre que o enunciado disser “toda matriz real …” é bom lembrar que matrizes de rotação (ou blocos de rotação) formam contraexemplos clássicos, porque produzem autovalores complexos conjugados.]

Passo 4

Analisar II: relação entre autovalor 0 e núcleo (kernel) e uso do Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).
  • Fato fundamental: 0 é autovalor de A se, e somente se, existe vetor não-nulo v tal que A v=0. Isso significa que o núcleo \ker A é não-trivial (tem dimensão pelo menos 1) quando 0 é autovalor.
  • Teorema do núcleo e imagem (rank–nullity) para A:\mathbb{R}^{6}\to\mathbb{R}^{6}:
\dim \ker A + \dim \operatorname{Imagem}(A) = 6.
Se 0 é autovalor então \dim \ker A \ge 1. Substituindo na equação acima, obtemos
\dim \operatorname{Imagem}(A) = 6 - \dim \ker A \le 6-1 = 5.
Portanto \dim \operatorname{Imagem}(A) não pode ser 6. Logo a afirmação II é falsa.

Passo 5

Dar um contraexemplo concreto para reforçar II (matriz diagonalizável com autovalores repetidos): por exemplo, a matriz diagonal
D=\operatorname{diag}(0,2,2,5,5,5)
representa uma transformação linear em \mathbb{R}^{6} cujos únicos autovalores são 0,2,5 (com multiplicidades algébricas apropriadas). A dimensão da imagem de D é o número de entradas diagonais não nulas, que é 5. Assim \dim \operatorname{Imagem}(D)=5\neq6. Isso confirma que II é falsa na prática.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados:
  • I é falsa (ex.: matriz de rotação de 90^\circ não tem autovetores reais).
  • II é falsa (presença de autovalor 0 garante \dim\operatorname{Imagem}(A)\le5).
Portanto ambas as afirmações são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.