I. Se
é uma matriz com entradas reais, então existe um autovetor de
em
.
II. Se os únicos autovalores de
são 0,2 e 5 , então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se
é uma matriz com entradas reais, então existe um autovetor de
em
.
II. Se os únicos autovalores de
são 0,2 e 5 , então $\operatorname{dim} \operatorname{Imagem}(A)=6.
II. Se os únicos autovalores de
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se
II. Se os únicos autovalores de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
- Enunciado I: “Se
é uma matriz com entradas reais, então existe um autovetor de em .” - Enunciado II: “Se os únicos autovalores de
são e , então .”
O que se pede: determinar a veracidade de cada afirmação e, portanto, escolher a alternativa correta entre (A)–(D).
Passo 2
Explicar o conceito usado para analisar I: definição de autvalor e autovetor e a observação-chave que nem toda matriz real tem autvetores reais.
- Definição rápida e clara: um vetor não-nulo
é autovetor de uma matriz se existir tal que
O número
é chamado autovalor (pode ser real ou complexo). Para que exista autovetor em
com autovalor real, o autovalor tem de ser real.
- Observação importante: uma matriz real pode ter autovalores complexos não reais — nesse caso não existem autovetores em
correspondentes a esses autovalores.
Vou usar um exemplo concreto que mostra que I é falsa.
Passo 3
Contraexemplo para I (matriz de rotação de
): considere
Calcular o polinômio característico:
As raízes são
, que não são números reais. Como não existem autovalores reais, não existem autovetores não-nulos em
. Logo, existe pelo menos uma matriz real
que não possui autovetor em
. Portanto a afirmação I é falsa.
Comentário didático rápido: em provas, sempre que o enunciado disser “toda matriz real …” é bom lembrar que matrizes de rotação (ou blocos de rotação) formam contraexemplos clássicos, porque produzem autovalores complexos conjugados.]
Passo 4
Analisar II: relação entre autovalor
e núcleo (kernel) e uso do Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity).
-
Fato fundamental:
é autovalor de se, e somente se, existe vetor não-nulo tal que . Isso significa que o núcleo é não-trivial (tem dimensão pelo menos ) quando é autovalor. -
Teorema do núcleo e imagem (rank–nullity) para
:
Se
é autovalor então
. Substituindo na equação acima, obtemos
Portanto
não pode ser
. Logo a afirmação II é falsa.
Passo 5
Dar um contraexemplo concreto para reforçar II (matriz diagonalizável com autovalores repetidos): por exemplo, a matriz diagonal
representa uma transformação linear em
cujos únicos autovalores são
(com multiplicidades algébricas apropriadas). A dimensão da imagem de
é o número de entradas diagonais não nulas, que é
. Assim
. Isso confirma que II é falsa na prática.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados:
- I é falsa (ex.: matriz de rotação de
não tem autovetores reais). - II é falsa (presença de autovalor
garante ).
Portanto ambas as afirmações são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.