(i) Mostre que um oscilador harmônico com força externa possui sua amplitude máxima na frequência 
 . Dica: Extremize 
  ao invés de 
 , explique a razão disso. (b) Em qual frequência a velocidade possui seu maior valor?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um oscilador harmônico que está sob a influência de uma força externa. Basicamente, a gente vai precisar usar conceitos de física de oscilladores forçados e entender como a amplitude da oscilação depende da frequência da força aplicada. Para resolver, vamos precisar maximizar o módulo de 
  ao quadrado, ou seja, 
 . Isso porque trabalhar com o quadrado facilita os cálculos de maximização.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um oscilador harmônico com amortecimento, a impedância 
  é dada por:
onde:
- 
é a frequência da força externa,  - 
é a frequência natural do oscilador,  - 
é o coeficiente de amortecimento.  
Passo 3
Para encontrar a frequência que maximiza a amplitude, precisamos maximizar 
 . Porém, maximizar 
  é mais fácil porque elimina a raiz quadrada. Então, vamos definir:
Passo 4
Agora, vamos derivar 
  em relação a 
  e igualar a zero para encontrar o ponto de máximo:
Diferenciando:
Passo 5
Simplificando a equação:
Podemos dividir ambos os lados por 
  (considerando que 
 ):
Passo 6
Resolvendo para 
 :
Passo 7
Finalmente, tirando a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar 
 :
Passo 8
Agora, para a parte (b), queremos descobrir em qual frequência a velocidade do oscilador atinge seu maior valor.
Passo 9
A velocidade máxima está relacionada à derivada da posição em relação ao tempo. No contexto da amplitude, isso ocorre quando a amplitude multiplicada pela frequência é máxima. Então, vamos maximizar 
 .
Passo 10
Para maximizar 
 :
Passo 11
Derivando 
  em relação a 
  e igualando a zero:
Isso envolve uma derivação mais complexa, mas após simplificar, encontraremos que a frequência que maximiza a velocidade é diferente da que maximiza a amplitude.
Passo 12
Após os cálculos, a frequência que maximiza a velocidade é 
 .
Resposta
A velocidade atinge seu maior valor na frequência 
 .