(i) Se , então A, B e C são colineares.
(ii) Se A, B e C são colineares, então |lllx1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3|=0.
(iii) As coordenadas do ponto P, simétrico de A em relação a C, são P=(2 x3-x1, 2 y3-y1, 2 z3-z1).
a) Todas as afirmações são falsas.
b) Todas as afirmações são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações (i) e (ii) são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações (ii) e (iii) são verdadeiras.
e) Apenas as afirmações (i) e (iii) são verdadeiras.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três afirmações sobre pontos colineares e determinantes de matrizes. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras ou falsas usando conceitos de geometria analítica e álgebra linear. Para isso, vamos precisar entender o que significa pontos serem colineares e como os determinantes estão relacionados a isso.
Passo 2
Vamos começar com a afirmação (i):
“Se |lllx1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3|=0, então A, B e C são colineares.”
Aqui, o determinante da matriz 3x3 formada pelas coordenadas dos pontos A, B e C é igual a zero. Na álgebra linear, um determinante igual a zero indica que as linhas da matriz são linearmente dependentes. No contexto de geometria, isso significa que os três pontos estão na mesma linha, ou seja, são colineares. Portanto, a afirmação (i) é verdadeira.
Passo 3
Agora, vamos para a afirmação (ii):
“Se A, B e C são colineares, então |lllx1 & y1 & z1 x2 & y2 & z2 x3 & y3 & z3|=0.”
Se os pontos A, B e C são colineares, isso significa que há uma relação linear entre eles. Consequentemente, a matriz formada por suas coordenadas terá linhas linearmente dependentes, o que faz com que o determinante seja zero. Portanto, a afirmação (ii) também é verdadeira.
Passo 4
Vamos analisar a afirmação (iii):
“As coordenadas do ponto P, simétrico de A em relação a C, são P=(2 x3-x1, 2 y3-y1, 2 z3-z1).”
Para encontrar o ponto simétrico de A em relação a C, usamos a fórmula do ponto médio. Se C é o ponto médio entre A e P, então temos:
C = (x1 + xP2, y1 + yP2, z1 + zP2)
Resolvendo para P, multiplicamos cada coordenada por 2 e subtraímos a coordenada correspondente de A:
xP = 2x3 - x1 yP = 2y3 - y1 zP = 2z3 - z1
Portanto, a afirmação (iii) está correta.
Resposta
A resposta correta é a letra b) Todas as afirmações são verdadeiras.