Identificar e descrever as superfícies de equações dadas. x^2-4 x-z+6=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e descrever a superfície definida pela equação . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas. Vamos resolver passo a passo para entender melhor o que essa equação representa no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
x^2 - 4x - z + 6 = 0
Nosso objetivo é isolar o termo z = x^2 - 4x + 6 para deixar a equação na forma ã. Vamos reorganizar os termos:

Passo 3

Agora, observamos que a equação envolve apenas as variáveis e , ou seja, não há termo com . Isso indica que a superfície é independente de , o que significa que ela se estende indefinidamente ao longo do eixo .

Passo 4

Para entender melhor a forma da superfície, vamos completar o quadrado na expressão de x^2 - 4x + 6 = (x^2 - 4x + 4) + 2 = (x - 2)^2 + 2 :
z = (x - 2)^2 + 2
Então, a equação pode ser escrita como:
Isso mostra que, para cada valor de , a superfície forma uma parábola no plano , com vértice em .

Passo 5

Como a equação é independente de , a superfície inteira é formada pela repetição dessa parábola ao longo do eixo . Portanto, estamos lidando com um cilindro parabólico, onde a seção transversal é uma parábola e a extensão é ao longo de uma direção (neste caso, o eixo ).

Resposta

A superfície definida pela equação é um cilindro parabólico que possui parábolas de equação repetidas ao longo do eixo .

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