Identificar e descrever as superfícies de equações dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e descrever a superfície definida pela equação
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre superfícies quadráticas. Vamos resolver passo a passo para entender melhor o que essa equação representa no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação da superfície. A equação dada é:
Nosso objetivo é isolar o termo
para deixar a equação na forma
. Vamos reorganizar os termos:
Passo 3
Agora, observamos que a equação
envolve apenas as variáveis
e
, ou seja, não há termo com
. Isso indica que a superfície é independente de
, o que significa que ela se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Passo 4
Para entender melhor a forma da superfície, vamos completar o quadrado na expressão de
:
Então, a equação pode ser escrita como:
Isso mostra que, para cada valor de
, a superfície forma uma parábola no plano
, com vértice em
.
Passo 5
Como a equação é independente de
, a superfície inteira é formada pela repetição dessa parábola ao longo do eixo
. Portanto, estamos lidando com um cilindro parabólico, onde a seção transversal é uma parábola e a extensão é ao longo de uma direção (neste caso, o eixo
).
Resposta
A superfície definida pela equação
é um cilindro parabólico que possui parábolas de equação
repetidas ao longo do eixo
.