Identifique e descreva a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação a seguir. Faça um esboço da superfície.
x^{2}+9 y^{2}=9

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos e descrevermos a superfície em \mathbb{R}^3 dada por
x^{2} + 9y^{2} = 9.
O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas e reconhecimento de cilindros. Vamos precisar reescrever a equação em forma canônica e observar se ela depende de z.

Passo 2

Reescrevendo em forma de elipse no plano xy:
\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{1} = 1.
Note que não aparece a variável z, ou seja, a curva elíptica se repete para todos os valores de z.

Passo 3

Como a equação não envolve z, a superfície é obtida ao “arrastar” a elipse
\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1
ao longo do eixo z. Isso caracteriza um cilindro elíptico cujas seções transversais por planos paralelos a xy são elipses de semi-eixos a=3 em x e b=1 em y.

Passo 4

Para esboçar, desenhe no plano z=0 a elipse centrada na origem, com interceptações em (\pm3,0,0) e (0,\pm1,0). Depois, prolongue essa forma indefinidamente para cima e para baixo ao longo do eixo z. Você obterá um tubo de seção elíptica constante.

Resposta

A superfície é um cilindro elíptico de equação
\frac{x^{2}}{3^{2}} + \frac{y^{2}}{1^{2}} = 1,
orientado ao longo do eixo z, com semi-eixos 3 em x e 1 em y.
Esboço: uma elipse no plano z=0 extrudada paralelamente ao eixo z.

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