Identifique os elementos de simetria e determine o grupo de ponto das seguintes moléculas:
metano
metano
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: identificar os elementos de simetria da molécula metano e, com base neles, determinar o grupo de ponto da molécula.
Informação dada: a molécula é o metano (fórmula ), que tem um átomo de carbono central ligado a quatro hidrogênios dispostos formando um tetraedro regular ao redor do carbono.
Informação dada: a molécula é o metano (fórmula
Passo 2
Descrição geométrica concreta (útil para visualizar os eixos): o metano é um tetraedro regular com o carbono no centro e os quatro hidrogênios nos vértices. Uma escolha conveniente de coordenadas (proporcional, só para visualizar) para os hidrogênios é:
com o carbono em
. Essas posições são os quatro vértices de um tetraedro centrado na origem. Ter essa imagem em mente ajuda a ver como as rotações e reflexões permutam os hidrogênios.
Passo 3
Breve aula: o que é um elemento de simetria e os tipos que vamos procurar
- Identidade
: operação que deixa tudo igual (sempre presente). - Eixo de rotação
: rotação de em torno de um eixo que leva a molécula em si mesma. Um eixo gera operações ( ). - Plano de reflexão
: reflexão em relação a um plano que deixa a molécula inalterada. Tipos: , , etc., dependendo da geometria. - Centro de inversão
: ponto tal que inverter todas as coordenadas em relação a ele deixa a molécula igual. - Rotações impróprias
: combinação de uma rotação seguida de reflexão num plano perpendicular ao eixo. Denotado .
Na prática, para classificar um composto, identificamos todos os elementos presentes e comparamos com tabelas de grupos pontuais conhecidos.
Passo 4
Elemento trivial: identidade. O metano sempre tem
Passo 5
Eixos triplos (
): onde estão e quantos?
- Visualização: cada vértice do tetraedro (cada hidrogênio) determina um eixo que passa pelo átomo de hidrogênio e pelo centro da face oposta (o centro da face formada pelos outros três hidrogênios). Girar
( ) em torno desse eixo manda aquele hidrogênio no mesmo lugar e permuta ciclicamente os três hidrogênios da face oposta. - Como há quatro vértices, há quatro eixos de ordem 3. Cada eixo gera duas rotações não-triviais:
(120°) e (240°). Portanto contamos operações do tipo .
Conclusão: existem quatro eixos, totalizando operações .
Passo 6
Eixos de ordem dois (
): onde estão e quantos?
- Num tetraedro regular existem pares de arestas opostas (aresta = ligação entre dois vértices). Há exatamente três pares de arestas opostas, e cada par define um eixo que passa pelos pontos médios dessas duas arestas opostas. Uma rotação de
em torno desse eixo troca dois pares de hidrogênios entre si. - Portanto há três eixos
, cada um com a operação de . Contamos operações .
Passo 7
Eixos de rotação imprópria
: existência e contagem
- Um
é uma rotação de seguida de reflexão num plano perpendicular ao eixo (ou equivalentemente uma rotação seguida por uma reflexão). No tetraedro aparecem eixos que geram operações impróprias do tipo . - Há três eixos geométricos que dão origem às operações
; cada eixo produz duas operações não-triviais ( e , que é a rotação de seguida de reflexão), totalizando operações .
Observação: não é necessário memorizar a geometria exata de cada eixo para aceitar que o tetraedro admite esses; o importante é que, além dos e , aparecem exatamente essas rotações impróprias.
Passo 8
Planos de reflexão diagonais (
): existência e contagem
- Existem planos que trocam alguns hidrogênios entre si e contêm uma aresta/um eixo de simetria adequado. No grupo do tetraedro aparecem planos de reflexão chamados
(diédricos). - Contagem: há
desses planos no tetraedro regular. Cada um leva a molécula em si mesma por reflexão.
Passo 9
Elementos que NÃO aparecem
- Não existe centro de inversão
no metano (inverter todas as coordenadas não leva os hidrogênios sobre hidrogênios). - Não existem eixos de ordem 4 puros (
), nem outros elementos distintos dos listados acima.
Passo 10
Confrontando a lista com grupos padrões e conclusão
- Resumo dos elementos encontrados e suas contagens:
-
(1 operação), -
operações (quatro eixos ), -
operações (três eixos ), -
operações , -
planos .
-
- Esse conjunto de classes de operações (com essas contagens) corresponde exatamente ao grupo pontual denominado
(grupo tetraédrico de ordem 24). Logo o grupo de ponto do metano é .
Resposta
Elementos de simetria:
;
eixos
(total
operações
);
eixos
(total
operações
);
eixos
(total
operações
);
planos
.
Grupo de ponto: .
Grupo de ponto: