Identifique os elementos de simetria e determine o grupo de ponto das seguintes moléculas:
metano

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: identificar os elementos de simetria da molécula metano e, com base neles, determinar o grupo de ponto da molécula.
Informação dada: a molécula é o metano (fórmula \mathrm{CH_4}), que tem um átomo de carbono central ligado a quatro hidrogênios dispostos formando um tetraedro regular ao redor do carbono.

Passo 2

Descrição geométrica concreta (útil para visualizar os eixos): o metano é um tetraedro regular com o carbono no centro e os quatro hidrogênios nos vértices. Uma escolha conveniente de coordenadas (proporcional, só para visualizar) para os hidrogênios é:
H_1:(1,1,1),\quad H_2:(1,-1,-1),\quad H_3:(-1,1,-1),\quad H_4:(-1,-1,1),
com o carbono em (0,0,0). Essas posições são os quatro vértices de um tetraedro centrado na origem. Ter essa imagem em mente ajuda a ver como as rotações e reflexões permutam os hidrogênios.

Passo 3

Breve aula: o que é um elemento de simetria e os tipos que vamos procurar
  • Identidade E: operação que deixa tudo igual (sempre presente).
  • Eixo de rotação C_n: rotação de 360^\circ/n em torno de um eixo que leva a molécula em si mesma. Um eixo C_n gera n operações ( C_n^0=E, C_n^1, \dots, C_n^{n-1}).
  • Plano de reflexão \sigma: reflexão em relação a um plano que deixa a molécula inalterada. Tipos: \sigma_v, \sigma_d, etc., dependendo da geometria.
  • Centro de inversão i: ponto tal que inverter todas as coordenadas em relação a ele deixa a molécula igual.
  • Rotações impróprias S_n: combinação de uma rotação C_n seguida de reflexão num plano perpendicular ao eixo. Denotado S_n.
    Na prática, para classificar um composto, identificamos todos os elementos presentes e comparamos com tabelas de grupos pontuais conhecidos.

Passo 4

Elemento trivial: identidade. O metano sempre tem
E.

Passo 5

Eixos triplos ( C_3): onde estão e quantos?
  • Visualização: cada vértice do tetraedro (cada hidrogênio) determina um eixo que passa pelo átomo de hidrogênio e pelo centro da face oposta (o centro da face formada pelos outros três hidrogênios). Girar \,120^\circ ( =360^\circ/3) em torno desse eixo manda aquele hidrogênio no mesmo lugar e permuta ciclicamente os três hidrogênios da face oposta.
  • Como há quatro vértices, há quatro eixos de ordem 3. Cada eixo gera duas rotações não-triviais: C_3 (120°) e C_3^2 (240°). Portanto contamos 4\times2=8 operações do tipo C_3.
    Conclusão: existem quatro eixos C_3, totalizando 8 operações C_3.

Passo 6

Eixos de ordem dois ( C_2): onde estão e quantos?
  • Num tetraedro regular existem pares de arestas opostas (aresta = ligação entre dois vértices). Há exatamente três pares de arestas opostas, e cada par define um eixo que passa pelos pontos médios dessas duas arestas opostas. Uma rotação de 180^\circ em torno desse eixo troca dois pares de hidrogênios entre si.
  • Portanto há três eixos C_2, cada um com a operação de 180^\circ. Contamos 3 operações C_2.

Passo 7

Eixos de rotação imprópria S_4: existência e contagem
  • Um S_4 é uma rotação de 90^\circ seguida de reflexão num plano perpendicular ao eixo (ou equivalentemente uma rotação seguida por uma reflexão). No tetraedro aparecem eixos que geram operações impróprias do tipo S_4.
  • Há três eixos geométricos que dão origem às operações S_4; cada eixo produz duas operações não-triviais ( S_4 e S_4^3, que é a rotação de -90^\circ seguida de reflexão), totalizando 3\times2=6 operações S_4.
    Observação: não é necessário memorizar a geometria exata de cada eixo para aceitar que o tetraedro admite esses S_4; o importante é que, além dos C_3 e C_2, aparecem exatamente essas rotações impróprias.

Passo 8

Planos de reflexão diagonais ( \sigma_d): existência e contagem
  • Existem planos que trocam alguns hidrogênios entre si e contêm uma aresta/um eixo de simetria adequado. No grupo do tetraedro aparecem planos de reflexão chamados \sigma_d (diédricos).
  • Contagem: há 6 desses planos \sigma_d no tetraedro regular. Cada um leva a molécula em si mesma por reflexão.

Passo 9

Elementos que NÃO aparecem
  • Não existe centro de inversão i no metano (inverter todas as coordenadas não leva os hidrogênios sobre hidrogênios).
  • Não existem eixos de ordem 4 puros ( C_4), nem outros elementos distintos dos listados acima.

Passo 10

Confrontando a lista com grupos padrões e conclusão
  • Resumo dos elementos encontrados e suas contagens:
    • E (1 operação),
    • 8 operações C_3 (quatro eixos C_3),
    • 3 operações C_2 (três eixos C_2),
    • 6 operações S_4,
    • 6 planos \sigma_d.
  • Esse conjunto de classes de operações (com essas contagens) corresponde exatamente ao grupo pontual denominado \mathrm{T_d} (grupo tetraédrico de ordem 24). Logo o grupo de ponto do metano é \mathrm{T_d}.

Resposta

Elementos de simetria: E; 4 eixos C_3 (total 8 operações C_3); 3 eixos C_2 (total 3 operações C_2); 3 eixos S_4 (total 6 operações S_4); 6 planos \sigma_d.
Grupo de ponto: \mathrm{T_d}.