Identifique e esboce a cônica, conhecendo sua equação. Use o método de completamento de quadrados. 2 x^2-8 y+4 x+26=0

Passo 1

Estamos com uma equação de segunda ordem que representa uma cônica. Nosso objetivo é identificar qual tipo de cônica é essa e desenhá-la usando o método de completamento de quadrados. Para isso, vamos reorganizar a equação para chegar à forma padrão dessa cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de forma organizada, agrupando os termos com 2x^2 - 8y + 4x + 26 = 0 e os termos constantes:
2x^2 + 4x - 8y + 26 = 0
Podemos reescrever assim:

Passo 3

Agora, vamos focar nos termos que envolvem 2(x^2 + 2x) - 8y + 26 = 0. Vamos fatorar o coeficiente de , que é 2:

Passo 4

Para completar o quadrado dentro dos parênteses, precisamos adicionar e subtrair o termo necessário. Pegamos o coeficiente de 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 8y + 26 = 0 dentro do parêntese, que é 2, dividimos por 2, resultando em 1, e elevamos ao quadrado, obtendo 1. Assim:
2(x + 1)^2 - 2 - 8y + 26 = 0
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar o termo com 2(x + 1)^2 + 24 - 8y = 0:
-8y = -2(x + 1)^2 - 24
Isolando y = 28(x + 1)^2 + 248:
y = 14(x + 1)^2 + 3
Dividindo ambos os lados por -8:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola, que é:
y = a(x - h)^2 + k
Comparando com a nossa equação:
y = 14(x + 1)^2 + 3
Podemos identificar:
  • Vértice:
  • Abertura: Para cima, pois o coeficiente é positivo.

Resposta

A equação representa uma parábola com vértice em , que se abre para cima.

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