II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função
. A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como somas infinitas de potências de
, e o raio de convergência nos diz até onde essa série é válida. Para isso, vamos precisar da série de Maclaurin da função exponencial
.
Passo 2
Primeiro, lembremos qual é a série de Maclaurin da função exponencial
. Ela é dada por:
Isso significa que podemos substituir
por qualquer expressão dentro da função exponencial e adaptar a série.
Passo 3
No nosso caso, a função é
, então substituímos
por
na série:
Agora, precisamos multiplicar essa série por
para obter
.
Passo 4
Multiplicando
por
, temos:
Essa é a série de Maclaurin para a função
.
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de
converge para todo
real, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como substituímos
por
e depois multiplicamos por
, isso não altera o raio de convergência. Portanto, a série de
também converge para todo
real.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.