II) Determine as séries de Maclaurin e seus raios de convergência das funções abaixo, utilizando as séries e raios de convergência das funções do item I).
g) f(x) = x * e^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin e o raio de convergência da função . A série de Maclaurin é uma forma de representar funções como somas infinitas de potências de , e o raio de convergência nos diz até onde essa série é válida. Para isso, vamos precisar da série de Maclaurin da função exponencial .

Passo 2

Primeiro, lembremos qual é a série de Maclaurin da função exponencial . Ela é dada por:
Isso significa que podemos substituir por qualquer expressão dentro da função exponencial e adaptar a série.

Passo 3

No nosso caso, a função é , então substituímos por na série:
Agora, precisamos multiplicar essa série por para obter .

Passo 4

Multiplicando por , temos:
Essa é a série de Maclaurin para a função .

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série de converge para todo real, ou seja, o raio de convergência é infinito. Como substituímos por e depois multiplicamos por , isso não altera o raio de convergência. Portanto, a série de também converge para todo real.

Resposta

A série de Maclaurin de é:
E o raio de convergência dessa série é infinito.

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