1. \iint_{S}(f \nabla g-g \nabla f) \cdot \mathbf{n} d S=\iiint_{E}\left(f \nabla^{2} g-g \nabla^{2} f\right) d V
  2. Suponha que S e E satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que f seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que
\iint_{S} f \mathbf{n} d S=\iiint_{E} \nabla f d V

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\iint_{S} f\,\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} \nabla f\,dV.
Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que afirma que, para um campo vetorial \mathbf{F} com divergência contínua em E e superfície orientada S=\partial E, vale
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.

Passo 2

Para relacionar \iint_{S} f\,\mathbf{n}\,dS com alguma divergência, extraímos cada componente do vetor integral. Seja i\in\{1,2,3\} e \mathbf{e}_i o vetor canônico. Definimos o campo vetorial
\mathbf{F}_i = f\,\mathbf{e}_i.
Como \mathbf{F}_i(x,y,z) = (0,\dots,f(x,y,z),\dots,0), sua divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}_i = \frac{\partial f}{\partial x_i}.
Aplicando o Teorema do Divergente a \mathbf{F}_i, obtemos
\iint_{S} \mathbf{F}_i\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} \nabla\cdot\mathbf{F}_i\,dV \quad\Longrightarrow\quad \iint_{S} \mathbf{F}_i\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dV.

Passo 3

Note que
\mathbf{F}_i\cdot\mathbf{n} = (f\,\mathbf{e}_i)\cdot\mathbf{n} = f\,(\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{n}) = f\,n_i,
onde n_i é a i-ésima componente de \mathbf{n}. Logo, para cada i temos
\iint_{S} f\,n_i\,dS = \iiint_{E} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dV.
Reunindo as três componentes para i=1,2,3, escrevemos em forma vetorial:
\iint_{S} f\,\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3}\Bigr)\,dV = \iiint_{E} \nabla f\,dV.

Resposta

\displaystyle \iint_{S} f\,\mathbf{n}\,dS = \iiint_{E} \nabla f\,dV.

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