-
- Suponha que
e
satisfaçam as condições do Teorema do Divergente e que
seja uma função escalar com derivadas parciais contínuas. Demonstre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
Para isso, vamos usar o Teorema do Divergente, que afirma que, para um campo vetorial
com divergência contínua em
e superfície orientada
, vale
Passo 2
Para relacionar
com alguma divergência, extraímos cada componente do vetor integral. Seja
e
o vetor canônico. Definimos o campo vetorial
Como
, sua divergência é
Aplicando o Teorema do Divergente a
, obtemos
Passo 3
Note que
onde
é a
-ésima componente de
. Logo, para cada
temos
Reunindo as três componentes para
, escrevemos em forma vetorial: