1.3-2 Imagine que um longo cabo de tungstênio está pendurado verticalmente em um balão de grandes altitudes.
(a) Qual é o comprimento máximo (metros) que ele pode ter sem que se quebre, se a tensão máxima (ou tensão de ruptura) é 1500 MPa ?
(b) Se o mesmo fio está pendurado em um navio no mar, qual é o comprimento máximo? (Obtenha as densidades de peso do tungstênio e da água do mar na Tabela H.1, Apêndice H.)

Passo 1

O enunciado nos diz que um cabo de tungstênio está pendurado verticalmente e quebra quando a tensão no topo alcança a tensão de ruptura.
O conteúdo é resistência dos materiais (tensão por próprio peso) e vamos precisar da tensão máxima sigmamax e das densidades de peso do tungstênio e da água do mar.

Passo 2

Em equilíbrio estático, a tensão no topo do cabo de comprimento L é igual ao peso do cabo inteiro dividido pela área, ou seja
sigma = rho,g,A,LA = rho,g,L,
onde rho é a densidade de massa e g a aceleração da gravidade.
Para que o cabo não quebre, devemos ter
sigma <= sigmamax Longrightarrow L <= sigmamaxrho,g

Passo 3

Da Tabela H., kg/m^3
e tomamos g=9,8, m/s^2.
Logo, a densidade de peso do tungstênio é
gammaW = rhoW,g = 19,3times10^3 times 9,8 approx 189,1times10^3 N/m^3
Substituindo em L = sigmamaxrho g com
sigmamax = 1500, MPa = 1500times10^6, N/m^2,
obtemos
Lar = 1500times10^6189,1times10^3 approx 7,93times10^3 m
)

Passo 4

Quando o cabo está mergulhado em água do mar, a força de empuxo reduz o peso aparente; a densidade de massa da água do mar é
rhosw = 1025, kg/m^3,
portanto
gammasw = rhosw,g = 1025times9,8 approx 10,05times10^3 N/m^3
A densidade de peso efetiva do cabo é
gammaef = gammaW - gammasw approx 189,1times10^3 - 10,05times10^3 = 179,05times10^3 N/m^3
Logo o comprimento máximo submerso é
Lmar = sigmamaxgammaef = 1500times10^6179,05times10^3 approx 8,38times10^3 m

Resposta

a) Larapprox7,93times10^3 m
b) Lmarapprox8,38times10^3 m

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