*1.4-5 Um fio de comprimento L=2,5 m e diâmetro d=1,6 mm é estirado por forças de tração P=660 N. O fio é feito de uma liga de cobre com uma relação de ten-são-deformação que pode ser escrita matematicamente pela seguinte equação:
sigma=124,020 epsilon1+300 epsilon 0 <= epsilon <= 0,03 (sigma=MPa)
em que epsilon é adimensional e sigma tem unidades em MPa .
(a) Construa um diagrama de tensão-deformação para o material.
(b) Determine o alongamento do fio devido às forças P.
(c) Se as cargas forem removidas, qual será a configuração permanente da barra?
(d) Se as forças forem aplicadas novamente, qual será o limite de proporcionalidade?

Passo 1

O enunciado dá o comportamento não-linear de tensão sigma versus deformação epsilon para uma liga de cobre, via
sigma=124,020,epsilon1+300,epsilon, 0<=epsilon<=0,03,
com sigma em MPa e epsilon adimensional. O fio tem comprimento inicial L=2,5,m e diâmetro d=1,6,mm. Pede-se:
(a) diagrama tensão-deformação;
(b) alongamento sob P=660,N;
(c) deformação permanente após descarregar;
(d) limite de proporcionalidade num novo carregamento.

Passo 2

(a) Para esboçar sigma(epsilon), note que em epsilon=0 temos sigma=0 e que, conforme epsilonto0,03,
sigma(0,03)=124,020cdot0,031+300cdot0,03 =3,720,61+9=372,06 MPa
A curva cresce rapidamente no início e vai se achatando, nunca passando de 372 MPa.

Passo 3

(b) Área da seção transversal
A=pi d^24 =pi,(0,0016)^24approx2,01times10^-6,m^2
Tensão aplicada
sigmarm eng=PA =6602,01times10^-6approx3,2836times10^8,Pa =328,36 MPa
Igualamos à lei do material:
328,36=124,020,epsilon1+300,epsilon ;Longrightarrow; 328,36,(1+300,epsilon)=124,020,epsilon ;Longrightarrow; 328,36=25,500,epsilon ;Longrightarrow; epsilon=0,01288
Alongamento
De<a L=epsilon,L=0,01288times2,5approx0,0322 m=32,2 mm

Passo 4

(c) No carregamento a rigidez inicial é
E0=dsigmadepsilon|epsilon=0 =124,020 MPa
Ao descarregar, recupera-se elasticamente epsilone=sigmarm eng/E0:
epsilone=328,36124,020approx0,002648
A deformação permanente é
epsilonp=epsilon-epsilone =0,01288-0,002648=0,01023,
logo o comprimento final é
Lrm perm=L,(1+epsilonp) =2,5,(1+0,01023)approx2,5256 m

Passo 5

(d) Como o material é logo não-linear, definimos o limite de proporcionalidade pelo critério de 0,2 % de offset: traça-se a reta
sigma=E0(epsilon-0,002)
e acha-se a interseção com a curva original. Igualando
124,020,(epsilon-0,002) =124,020,epsilon1+300,epsilon ;Longrightarrow; (epsilon-0,002)(1+300,epsilon)=epsilon ;Longrightarrow; 300,epsilon^2-0,6,epsilon-0,002=0,
cuja raiz positiva é epsilonyapprox0,003769. Então
sigmay=E0(epsilony-0,002) =124,020times0,001769approx219,5 MPa,
e a carga correspondente
Py=sigmay,A =219,5times10^6times2,01times10^-6approx441,4 N

Resposta

(a) Curva de sigma versus epsilon que parte de ( 0,0) e atinge (0,03,372,06,MPa);concavidade para baixo.
(b) De<a Lapprox32,2 mm.
(c) Comprimento permanente Lrm permapprox2,5256 m.
(d) Limite de proporcionalidade ( 0,2 % offset): sigmayapprox219,5 MPa, Pyapprox441,4 N.

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