(IME-78/79) Seja
a função definida por:
. Dada à elipse
. Determine sua imagem
pela função g .
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e a elipse
A pergunta é: determinar a imagem
, ou seja, descrever o conjunto dos pontos
quando
percorre a elipse
.
Dados relevantes listados: a expressão explícita de e a equação cartesiana da elipse original.
Dados relevantes listados: a expressão explícita de
Passo 2
Vamos escrever a ação de
em coordenadas reais. Primeiro calcule
de forma explícita:
Isso mostra que a multiplicação por
transforma o ponto
(coordenadas reais) no ponto
. Depois somamos o termo
, que é uma translação pelo vetor
. Portanto, a transformação
faz:
Explicando de modo didático: multiplicar por
corresponde a rotacionar o plano em
no sentido anti-horário (sem escalar), e adicionar
desloca (translada) o centro para a direita 2 unidades e para cima 3 unidades.
Passo 3
Denotemos a imagem por
. Pelas relações acima temos as equações entre coordenadas:
Invertendo essas relações (para poder eliminar
na equação da elipse):
Vou usar essa inversa para substituir na equação da elipse original e obter a equação do conjunto dos
que são imagens.
Passo 4
Substituindo
e
na equação
obtemos
Reescrevendo em forma standard (observando que
):
Essa é a equação cartesiana da imagem
no plano
, onde
e
.
Passo 5
Interpretação geométrica didática e verificação com pontos notáveis:
- A elipse resultante é centrada em
(porque as expressões aparecem como e ). - Os semi-eixos têm comprimentos
(no eixo , pois denominador dá ) e (no eixo , pois denominador dá ). - Verificação simples com vértices da elipse original: pontos
da elipse original vão para , isto é e — mostra o semi-eixo vertical de comprimento centrado em . Pontos vão para , isto é e — mostra o semi-eixo horizontal de comprimento centrado em .
Tudo isso confirma que a imagem é a elipse dada pela equação encontrada.