(IME-78/79) Seja g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} a função definida por: \mathrm{g}(\mathrm{x}+\mathrm{yi}) =\mathrm{i}(\mathrm{x}+\mathrm{yi})+2+3 \mathrm{i}. Dada à elipse \mathrm{E}=\left\{\mathrm{x}+\mathrm{iy} \mid \mathrm{x}^{2} / 9+\mathrm{y}^{2} / 4=1 ; \mathrm{x}, \mathrm{y}\right. \in \Re. Determine sua imagem \mathrm{g}(\mathrm{E}) pela função g .

Passo 1

O enunciado dá a função g:\mathbb{C}\to\mathbb{C} definida por
g(x+iy)=i(x+iy)+2+3i
e a elipse
E=\left\{x+iy \mid \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1,\; x,y\in\mathbb{R}\right\}.
A pergunta é: determinar a imagem g(E), ou seja, descrever o conjunto dos pontos g(z) quando z percorre a elipse E.
Dados relevantes listados: a expressão explícita de g e a equação cartesiana da elipse original.

Passo 2

Vamos escrever a ação de g em coordenadas reais. Primeiro calcule i(x+iy) de forma explícita:
i(x+iy)=ix+i^{2}y=ix-y=-y+i x.
Isso mostra que a multiplicação por i transforma o ponto (x,y) (coordenadas reais) no ponto (-y,x). Depois somamos o termo 2+3i, que é uma translação pelo vetor (2,3). Portanto, a transformação g faz:
(x,y)\longmapsto (-y,x)+ (2,3)=(2-y,\;3+x).
Explicando de modo didático: multiplicar por i corresponde a rotacionar o plano em 90^\circ no sentido anti-horário (sem escalar), e adicionar 2+3i desloca (translada) o centro para a direita 2 unidades e para cima 3 unidades.

Passo 3

Denotemos a imagem por u+iv=g(x+iy). Pelas relações acima temos as equações entre coordenadas:
u=2-y,\qquad v=3+x.
Invertendo essas relações (para poder eliminar x,y na equação da elipse):
x=v-3,\qquad y=2-u.
Vou usar essa inversa para substituir na equação da elipse original e obter a equação do conjunto dos (u,v) que são imagens.

Passo 4

Substituindo x=v-3 e y=2-u na equação \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}=1 obtemos
\frac{(v-3)^{2}}{9}+\frac{(2-u)^{2}}{4}=1.
Reescrevendo em forma standard (observando que (2-u)^{2}=(u-2)^{2}):
\frac{(u-2)^{2}}{4}+\frac{(v-3)^{2}}{9}=1.
Essa é a equação cartesiana da imagem g(E) no plano (u,v), onde u=\Re(g(z)) e v=\Im(g(z)).

Passo 5

Interpretação geométrica didática e verificação com pontos notáveis:
  • A elipse resultante é centrada em (u,v)=(2,3) (porque as expressões aparecem como (u-2) e (v-3)).
  • Os semi-eixos têm comprimentos 2 (no eixo u, pois denominador 4 \sqrt{4}=2) e 3 (no eixo v, pois denominador 9 \sqrt{9}=3).
  • Verificação simples com vértices da elipse original: pontos (x,y)=(\pm 3,0) da elipse original vão para (u,v)=(2,3\pm 3), isto é (2,6) e (2,0) — mostra o semi-eixo vertical de comprimento 3 centrado em v=3. Pontos (0,\pm 2) vão para (u,v)=(2\mp 2,3), isto é (0,3) e (4,3) — mostra o semi-eixo horizontal de comprimento 2 centrado em u=2.
    Tudo isso confirma que a imagem é a elipse dada pela equação encontrada.

Resposta

\displaystyle g(E)=\left\{z\in\mathbb{C}\;\middle|\;\frac{(\Re(z)-2)^{2}}{4}+\frac{(\Im(z)-3)^{2}}{9}=1\right\}