Uma importante função utilizada em machine learning é a função sigmoide S(z)=11+e^-z. Ocorre que a variável z pode depender de outras variáveis. Suponha que z=b+W1 x, sendo b e W1 variáveis. Reescreva S como função das variáveis b e W1 e calcule partial Spartial b e partial Spartial W1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função sigmoide usada em machine learning, que é S(z) = 11 + e^-z. A variável z depende de outras variáveis, especificamente b e W1, onde z = b + W1 x. Nosso objetivo é reescrever S em termos de b e W1 e depois calcular as derivadas parciais partial Spartial b e partial Spartial W1. Para isso, vamos precisar entender como manipular funções e aplicar regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função sigmoide S usando a expressão de z fornecida. Sabemos que z = b + W1 x, então substituindo isso na função sigmoide:
S(b, W1) = 11 + e^-(b + W1 x)
Agora, temos S expressa diretamente em termos de b e W1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de S em relação a b. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. Primeiro, reescrevemos S como:
S = 11 + e^-z onde z = b + W1 x
A derivada de S em relação a z é:
dSdz = S(1 - S)
Agora, aplicando a regra da cadeia para partial Spartial b:
partial Spartial b = dSdz cdot partial zpartial b = S(1 - S) cdot 1 = S(1 - S)

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a derivada parcial de S em relação a W1. Usando a mesma abordagem da regra da cadeia:
partial Spartial W1 = dSdz cdot partial zpartial W1 = S(1 - S) cdot x = x cdot S(1 - S)
Aqui, partial zpartial W1 = x porque z = b + W1 x.

Resposta

A função sigmoide reescrita em termos de b e W1 é:
S(b, W1) = 11 + e^-(b + W1 x)
As derivadas parciais são:
partial Spartial b = S(1 - S)
e
partial Spartial W1 = x cdot S(1 - S)

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