Indicar quais das seguintes sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique sua resposta.
O conjunto W=\left\{X \in \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ; X^{2}=I\right\} é subespaço vetorial de \mathcal{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define
W = \{\,X\in \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) \mid X^2 = I\}
e pergunta se W é subespaço vetorial de \mathcal{M}_{2\times2}(\mathbb{R}). Para isso precisamos verificar três propriedades:
  1. 0\in W.
  2. Fechamento sob soma: se X,Y\in W então X+Y\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se X\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha X\in W.

Passo 2

Checando a presença do vetor zero, note que
0^2 = 0 \neq I,
portanto a matriz zero não pertence a W. Já falhamos no primeiro requisito de subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.

Passo 3

Para reforçar, podemos também ver a falha no fechamento sob adição. Tome
X = I,\quad Y = -I.
Ambas satisfazem X^2=I e Y^2=I, então X,Y\in W. Mas
(X+Y)^2 = 0^2 = 0 \neq I,
logo X+Y\notin W.

Resposta

F

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