Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
() Toda sequência
limitada é convergente.
() Toda sequência
Passo 1
O enunciado pergunta se “toda sequência
limitada é convergente”. O conteúdo aqui é teoria de sequências reais: precisamos lembrar as definições de sequência limitada e sequência convergente para avaliar se a condição de limitação implica convergência.
Passo 2
Definição de sequência limitada: dizemos que
é limitada se existe
tal que
para todo
.
Definição de convergência: converge a
se, para todo
, existe
tal que
sempre que
.
Definição de convergência:
Passo 3
Construímos um contra‐exemplo clássico. Seja
Então para todo
vale
, logo a sequência é limitada (basta
). Porém não converge, pois as subsequências
e
têm limites diferentes
e
. Isso impede a existência de um único
que satisfaça a definição de convergência.
Resposta
A afirmação é falsa.