Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
() Toda sequência a_{n} limitada é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se “toda sequência \{a_n\} limitada é convergente”. O conteúdo aqui é teoria de sequências reais: precisamos lembrar as definições de sequência limitada e sequência convergente para avaliar se a condição de limitação implica convergência.

Passo 2

Definição de sequência limitada: dizemos que \{a_n\} é limitada se existe M>0 tal que \lvert a_n\rvert \le M para todo n.
Definição de convergência: \{a_n\} converge a L se, para todo \varepsilon > 0, existe N tal que \lvert a_n - L\rvert < \varepsilon sempre que n> N.

Passo 3

Construímos um contra‐exemplo clássico. Seja
a_n = (-1)^n.
Então para todo n vale \lvert a_n\rvert = 1, logo a sequência é limitada (basta M=1). Porém não converge, pois as subsequências a_{2k}=1 e a_{2k+1}=-1 têm limites diferentes 1 e -1. Isso impede a existência de um único L que satisfaça a definição de convergência.

Resposta

A afirmação é falsa.

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