Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência monótona é convergente.
( ) Toda sequência monótona é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação “Toda sequência monótona é convergente” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é teoria de sequências numéricas, mais precisamente a relação entre monotonicidade, limitação e convergência.
Passo 2
Definimos que uma sequência
é monótona crescente se, para todo
,
e monótona decrescente se, para todo
,
Uma sequência
converge quando existe um número real
tal que
Passo 3
Há um teorema clássico (teorema da convergência monotônica) que afirma que “toda sequência monótona e limitada converge”. Note que o hipótese de limitação é essencial: monotonicidade isolada não garante convergência finita.
Passo 4
Para ver que “toda sequência monótona é convergente” é falsa, basta um contra-exemplo sem limitação. Considere
Então para todo
vale
, logo
é monótona crescente. Mas
ou seja, não existe limite finito.
Resposta
Falsa. Contra-exemplo:
é monótona crescente e não converge (tende a
).