Indique se a frase é verdadeira ou falsa, dando um contra-exemplo quando for falsa e mostrando a afirmação quando for verdadeira.
( ) Toda sequência monótona é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação “Toda sequência monótona é convergente” é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolvido é teoria de sequências numéricas, mais precisamente a relação entre monotonicidade, limitação e convergência.

Passo 2

Definimos que uma sequência (a_n) é monótona crescente se, para todo n,
a_{n+1}\ge a_n,
e monótona decrescente se, para todo n,
a_{n+1}\le a_n.
Uma sequência (a_n) converge quando existe um número real L tal que
\lim_{n\to\infty}a_n = L.

Passo 3

Há um teorema clássico (teorema da convergência monotônica) que afirma que “toda sequência monótona e limitada converge”. Note que o hipótese de limitação é essencial: monotonicidade isolada não garante convergência finita.

Passo 4

Para ver que “toda sequência monótona é convergente” é falsa, basta um contra-exemplo sem limitação. Considere
a_n = n.
Então para todo n vale a_{n+1}=n+1\ge n=a_n, logo (a_n) é monótona crescente. Mas
\lim_{n\to\infty}a_n = +\infty,
ou seja, não existe limite finito.

Resposta

Falsa. Contra-exemplo: a_n = n é monótona crescente e não converge (tende a +\infty).

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